Θ函數

數學中，Θ函數是一種Template:Le特殊函數。其應用包括Template:Le與模空間、二次形式、孤立子理論；其格拉斯曼代數推廣亦出現於量子場論，尤其於超弦與D-膜理論。

Jacobi theta 1

Jacobi theta 2

Jacobi theta 3

Jacobi theta 4

Θ函數最常見於椭圓函數理論。相對於其「z」 變量，Θ函數是拟周期函数（quasiperiodic function），具有「擬周期性」。在一般Template:Le中，Θ函數是來自線叢條件。

雅可比Θ函數

雅可比Θ函數取二變量$z$與$\tau$，其中$z$為任何複數，而$\tau$為上半複平面上一點；此函數之定義為：

$\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{(\pi i{n}^2\tau +2\pi inz)}$。

若固定$\tau$ ，則此成為一週期為$1$的單變量$(z)$整函數的傅里葉級數：

$\vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau )$ 。

在以 $\tau$ 位移時，此函數符合：

$\vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=e^{(-\pi i{b}^2\tau -2\pi ibz)}\vartheta (z;\tau )$；

其中 $a$與$b$為整數。

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輔助函數

可定義輔助函數：

${\vartheta }_{01}(z;\tau )=\vartheta (z+\frac{1}{2};\tau )$

${\vartheta }_{10}(z;\tau )=e^{\frac{\pi \mathrm{i}\tau }{4}+\pi \mathrm{i}z}\vartheta (z+\frac{\tau }{2};\tau )$

${\vartheta }_{11}(z;\tau )=e^{\frac{\pi \mathrm{i}\tau }{4}+\pi \mathrm{i}(z+\frac{1}{2})}\vartheta (z+\frac{\tau +1}{2};\tau ).$

其中符號依黎曼與芒福德之習慣；雅可比的原文用變量$q=e^{\pi \mathrm{i}\tau }$替換了$\tau$，而稱本条目中的Θ為${\theta }_3$，${\vartheta }_{01}$為${\theta }_0$，${\vartheta }_{10}$為${\theta }_2$，${\vartheta }_{11}$為$-{\theta }_1$。

若設$z=0$，則我们可從以上獲得四支單以$\tau$為變量之函數，其中$\tau$取值於上半複平面。此等函數人稱「Θ『常量』」（theta constant）；我们可以用Θ函數定義一系列模形式，或參數化某些曲線。由「雅可比 恆等式」可得：

$\vartheta (0;\tau {)}^4={\vartheta }_{01}(0;\tau {)}^4+{\vartheta }_{10}(0;\tau {)}^4$,

是為四次費馬曲線。

雅可比恆等式

雅可比恆等式描述模羣在Θ函數之作用；模羣之生成元為T: τ ↦ τ+1與S: τ ↦ -1/τ。我们已有 T 作用之式。設：

$\alpha =(-\mathrm{i}\tau {)}^{\frac{1}{2}}{e}^{\pi \mathrm{i}{z}^2\tau }$

則

$\vartheta (\frac{z}{\tau };-\frac{1}{\tau })=\alpha \vartheta (z;\tau )$

${\vartheta }_{01}(\frac{z}{\tau };-\frac{1}{\tau })=\alpha {\vartheta }_{10}(z;\tau )$

${\vartheta }_{10}(\frac{z}{\tau };-\frac{1}{\tau })=\alpha {\vartheta }_{01}(z;\tau )$

${\vartheta }_{11}(\frac{z}{\tau };-\frac{1}{\tau })=-\alpha {\vartheta }_{11}(z;\tau )$

以nome q表示Θ函數

我们可用變量$w$與$q$，代替$z$與$\tau$，來表示ϑ。設$w=e^{\pi \mathrm{i}z}$而$q=e^{\pi \mathrm{i}\tau }$。則ϑ可表示為：

$\vartheta (w;q)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{w}^{2n}{q}^{n^2}.$

而輔助Θ函數可表示為：

${\vartheta }_{01}(w;q)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{w}^{2n}{q}^{n^2},$

${\vartheta }_{10}(w;q)=q^{\frac{1}{4}}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{w}^{2n+1}{q}^{n^2+n},$

${\vartheta }_{11}(w;q)=\mathrm{i}{q}^{\frac{1}{4}}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{w}^{2n+1}{q}^{n^2+n}.$

此表示式不需要指數函數，所以適用於指數函數無每一處定義域，如p進數域。

乘積表示式

雅可比三重積恆等式（Jacobi's triple product identity）中指出：若有複數$w$和$q$，其中$|q|<1$而$w\ne 0$，則

$\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2m})(1+w^2{q}^{2m-1})(1+w^{-2}{q}^{2m-1})=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{w}^{2n}{q}^{n^2}.$

此式可以用基本方法證明，如戈弗雷·哈罗德·哈代和爱德华·梅特兰·赖特共同编著的《数论导引》（Template:Lang-en）。

若用nome變量$q=e^{\pi i\tau }$與$w=e^{\pi iz}$表示，則有：

$\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp (\pi i\tau n^2)\exp (\pi iz2n)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{w}^{2n}{q}^{n^2}.$

由此得到Θ函數的積公式：

$\vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\exp (2m\pi i\tau ))(1+\exp ((2m-1)\pi i\tau +2\pi iz))(1+\exp ((2m-1)\pi i\tau -2\pi iz))$

三重積等式左邊可以擴展成：

$\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2m})(1+(w^2+w^{-2})q^{2m-1}+q^{4m-2}),$

即

$\vartheta (z|q)=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2m})(1+2\cos (2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2})$。

这个式子在z取實值時尤為重要。 各輔助Θ函數亦有類似之積公式：

${\vartheta }_{01}(z|q)=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2m})(1-2\cos (2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}).$

${\vartheta }_{10}(z|q)=2q^{1/4}\cos (\pi z)\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2m})(1+2\cos (2\pi z)q^{2m}+q^{4m}).$

${\vartheta }_{11}(z|q)=-2q^{1/4}\sin (\pi z)\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{2m})(1-2\cos (2\pi z)q^{2m}+q^{4m}).$

積分表示式

雅可比Θ函數可用積分表示，如下：

$\vartheta (z;\tau )=-i\underset{i-\mathrm{\infty }}{\overset{i+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{i\pi \tau u^2}\cos (2uz+\pi u)}{\sin (\pi u)}du$

${\vartheta }_{01}(z;\tau )=-i\underset{i-\mathrm{\infty }}{\overset{i+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{i\pi \tau u^2}\cos (2uz)}{\sin (\pi u)}du.$

${\vartheta }_{10}(z;\tau )=-i{e}^{iz+i\pi \tau /4}\underset{i-\mathrm{\infty }}{\overset{i+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{i\pi \tau u^2}\cos (2uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin (\pi u)}du$

${\vartheta }_{11}(z;\tau )=e^{iz+i\pi \tau /4}\underset{i-\mathrm{\infty }}{\overset{i+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{i\pi \tau u^2}\cos (2uz+\pi \tau u)}{\sin (\pi u)}du$

與黎曼ζ函數的關係

黎曼常用關係式

$\vartheta (0;-\frac{1}{\tau })=(-i\tau {)}^{\frac{1}{2}}\vartheta (0;\tau )$

以證黎曼ζ函數之函數方程。他寫下等式：

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right){\pi }^{-\frac{s}{2}}\zeta (s)=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\vartheta (0;it)-1]t^{\frac{s}{2}}\frac{dt}{t}$ ；

而此積分於替換$s\to 1-s$下不變。 $z$非零時之積分，在赫尔维茨ζ函數一文有描述。

與基本椭圓函數之關係

雅可比用Θ函數來構造椭圓函數，並使其有易於計算之形式，因为Θ函數中快速收敛的级数往往比积分容易计算。他表示他的椭圓函數成兩枚上述Θ函數之商，这可参见雅可比椭圆函数的定义。魏爾施特拉斯橢圓函數亦可由雅可比Θ構造：

$\mathrm{\wp }(z;\tau )=-(\log {\vartheta }_{11}(z;\tau ){)}^{″}+c$

其中二次微分相對於z，而常數c使$\mathrm{\wp }(z)$的罗朗級數（於 z = 0）常項為零，因为雅可比椭圆函数单位胞腔内两极点互为相反数，和为零，而魏爾施特拉斯橢圓函數的所有极点留数均为零，所以这是必要的。

與模形式之關係

設η為戴德金η函數。則

$\vartheta (0;\tau )=\frac{{\eta }^2(\tau +\frac{1}{2})}{\eta (2\tau +1)}$.

解熱方程

雅可比Θ函數為一維熱方程、於時間為零時符合週期邊界條件之唯一解。 設z = x取實值，τ = it而t取正值。則有

$\vartheta (x,it)=1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\exp (-\pi n^{2}t)\cos (2\pi nx)$

此解此下方程：

$\frac{\partial }{\partial t}\vartheta (x,it)=\frac{1}{4\pi }\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\vartheta (x,it)$。

於t = 0時，Θ函數成為「狄拉克梳状函数」（Dirac comb）

$\underset{t\to 0}{\lim }\vartheta (x,it)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (x-n)$，

其中δ為狄拉克δ函数，故可知此解是唯一的。 因此，一般解可得自t = 0時的（週期）邊界條件與Θ函數的卷積。

與海森堡羣之關係

雅可比Θ函在海森堡羣之一離散子羣作用下不變。見海森堡羣之Θ表示一文。

推廣

若F為一n元二次型，則有一關連的Θ函數

${\theta }_F(z)=\sum _{m\in Z^n}\exp (2\pi izF(m))$

其中Zⁿ為整數格。此Θ函數是模羣（或某適當子羣）上的權n/2 模形式。在其富理埃級數

${\theta }_F(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{R}_F(k)\exp (2\pi ikz)$

中，R_F(k) 稱為此模形式之「表示數」（representation numbers）。

黎曼Θ函數

設

${ℍ}_n=\{F\in M(n,ℂ)\mathrm{s}\mathrm{.}\mathrm{t}\mathrm{.}F=F^T\text{and}\text{Im}F>0\}$

為一集對稱方矩陣，其虚部為正定，一般稱H_n為“西格尔上半平面”（Siegel upper half-plane），它是上半複平面的高維推廣。模羣之n維推廣為辛羣Sp(2n,Z)： 當n = 1 時， Sp(2,Z) = SL(2,Z)。同余子群（congruence subgroup）的n維推廣為態射核$\text{Ker}\{\text{Sp}(2n,\mathbb{Z})\to \text{Sp}(2n,\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})\}$。

若設$\tau \in {ℍ}_n$，則可定義黎曼Θ函數：

$\theta (z,\tau )=\sum _{m\in Z^n}\exp \left(2\pi i(\frac{1}{2}{m}^T\tau m+m^{T}z)\right)$；

$\theta (z,\tau )=\sum _{m\in Z^n}\exp \left(2\pi i(\frac{1}{2}{m}^T\tau m+m^{T}z)\right)$；

其中$z\in {ℂ}^n$為一n維複向量，上標T為轉置。然則雅可比Θ函數為其特例（設n = 1、 $\tau \in ℍ$；其中$ℍ$為上半平面）。

在${ℂ}^n\times {ℍ}_n.$的緊緻子集上，黎曼Θ函數絶對一致收歛。

函數方程為：

$\theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp 2\pi i(-b^{T}z-\frac{1}{2}{b}^T\tau b)\theta (z,\tau )$；

此方程成立於 $a,b\in {\mathbb{Z}}^n$, $z\in {ℂ}^n$ ， $\tau \in {ℍ}_n$。

参考文献

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (See section 16.27ff.)
• Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 (See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta)
• G. H. Hardy and E. M. Wright，An Introduction to the Theory of Numbers, fourth edition (1959) , Oxford University Press
• David Mumford，Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
• James Pierpont Functions of a Complex Variable, Dover
• Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces, (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 0-683-07196-3.