赫尔维茨ζ函数

复空间赫尔维茨ζ函数

赫尔维茨ζ函数(Hurwitz zeta function)定义如下

$\zeta (s,q)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(q+n{)}^s}.$

其中$q$、$s$都是复数，并且有$Re(q)>0$,$Re(s)>0$

对于给定的q,s,此函数可以扩展到 s≠1的亚纯函数.

黎曼ζ函数=$\zeta (s,1)$

级数展开

赫尔维茨ζ函数可以展开成级数：:

$\zeta (s,q)=\frac{1}{s-1}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(q+k{)}^{1-s}.$

此级数在S空间的紧空间子集中均匀收敛成为一个整函数。

积分式

赫尔维茨ζ函数可以表示为下列梅林变换

$\zeta (s,q)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{s-1}{e}^{-qt}}{1-e^{-t}}dt$

其中 $\mathrm{\Re }s>1$ 及$\mathrm{\Re }q>0.$

赫尔维茨公式

$\zeta (1-s,x)=\frac{1}{2s}[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)]$

其中

$\beta (x;s)=2\mathrm{\Gamma }(s+1)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\exp (2\pi inx)}{(2\pi n{)}^s}=\frac{2\mathrm{\Gamma }(s+1)}{(2\pi {)}^s}{\text{Li}}_s(e^{2\pi ix})$

对于 $0\le x\le 1$ and s > 1成立，其中 ${\text{Li}}_s(z)$代表 多重对数.

泰勒展开

赫尔维茨ζ函数的导数是平移：

$\frac{\partial }{\partial q}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).$

因此赫尔维茨ζ函数的泰勒级数可表示为:

$\zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{y^k}{k!}\frac{{\partial }^k}{\partial x^k}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s+k-1}{s-1})(-y{)}^k\zeta (s+k,x).$

或

$\zeta (s,q)=\frac{1}{q^s}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-q{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{s+n-1}{n})\zeta (s+n),$

其中 $|q|<1$.

与Θ函數的关系

令$\vartheta (z,\tau )$ 代表 雅可比 Θ函數, 则

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\vartheta (z,it)-1]t^{s/2}\frac{dt}{t}={\pi }^{-(1-s)/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1-s}{2}\right)[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)]$

对于 $\mathrm{\Re }s>0$ and 复数z 成立，但对于 z=n 整数，则有

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\vartheta (n,it)-1]t^{s/2}\frac{dt}{t}=2{\pi }^{-(1-s)/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1-s}{2}\right)\zeta (1-s)=2{\pi }^{-s/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s).$

其中 ζ 代表黎曼ζ函数.

推广

正整数m的赫尔维茨ζ函数与 多伽玛函数有下列关系:

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m+1}m!\zeta (m+1,z).$

For negative integer −n the values are related to the Bernoulli polynomials:

$\zeta (-n,x)=-\frac{B_{n+1}(x)}{n+1}.$

The 巴恩斯ζ函数是赫尔维茨ζ函数的推广。

The 勒奇超越函数也是赫尔维茨ζ函数的推广:

$\mathrm{\Phi }(z,s,q)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{(k+q{)}^s}$

即：

$\zeta (s,q)=\mathrm{\Phi }(1,s,q).$

赫尔维茨ζ函数与超几何函数的关系：

$\zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}_{s+1}{F}_s(1,a_1,a_2,\dots a_s;a_1+1,a_2+1,\dots a_s+1;1)$其中 $a_1=a_2=\dots =a_s=a\text{ and }a\notin \mathbb{N}\text{ and }s\in {\mathbb{N}}^{+}.$

Meijer G函数

$\zeta (s,a)=G{}_{s+1,s+1}^{1,s+1}(-1\left|\begin{array}{c}0,1-a,\dots ,1-a\\ 0,-a,\dots ,-a\end{array}\right)s\in {\mathbb{N}}^{+}.$

延伸阅读

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