自然對數

自然對數$\ln (x)$的函數圖像

自然对数$\ln (x)$的積分定義

自然对数（Template:Lang-en）為以数学常数e為底數的对数函数，標記作$\ln x$或${\log }_{e}x$，其反函数為指數函數$e^x$。Template:Notetag

自然对数积分定義為對任何正實數$x$，由$1$到$x$所圍成，$xy=1$曲線下的面積。如果$x$小於1，則計算面積為負數。

$\ln x=\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{t}$

$e$則定義為唯一的實數$x$使得$\ln x=1$。

自然对数一般表示為$\ln x$，數學中亦有以$\log x$表示自然對數。Template:Notetag

歷史

十七世纪

雙曲線扇形是笛卡爾平面$\{(x,y)\}$上的一個區域，由從原點到$(a,\frac{1}{a})$和$(b,\frac{1}{b})$的射線，以及雙曲線$xy=1$圍成。在標準位置的雙曲線扇形有$a=1$且$b>1$，它的面積為$\ln (b)$，此時雙曲線扇形對應正雙曲角。

當直角雙曲線下的兩段面積相等時，$x$的值呈等比數列，$\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1}{x_0}=k$，$y$的值也呈等比數列，$\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1}{x_0}=\frac{1}{k}$。

約翰·納皮爾在1614年以及约斯特·比尔吉在6年後，分別發表了獨立編制的對數表，當時通過對接近1的底數的大量乘冪運算，來找到指定範圍和精度的對數和所對應的真數。當時還沒出現有理數冪的概念，按後世的觀點，約翰·納皮爾的底數0.9999999^10000000相當接近$\frac{1}{e}$，而约斯特·比尔吉的底數1.0001¹⁰⁰⁰⁰相當接近自然對數的底數$e$。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，約翰·納皮爾用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，Template:En-link建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法於1624年部份完成了常用對數表的編制。

形如$f(x)=x^p$的曲線都有一個代數反導數，除了特殊情況$p=-1$對應於雙曲線的Template:En-link，即雙曲線扇形；其他情況都由1635年發表的Template:En-link給出，其中拋物線的弓形面積由公元前3世紀的阿基米德完成（拋物線的弓形面積），雙曲線的弓形面積需要發明一個新函數。1647年Template:En-link將對數聯繫於雙曲線$xy=1$的弓形面積，他發現x軸上$[a,b]$兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形同$[c,d]$對應的扇形，在$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$時面積相同，這指出了雙曲線從$x=1$到$x=t$的積分$f(t)$滿足：

$f(tu)=f(t)+f(u)$

1649年，Template:En-link將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年，伊薩克·牛頓推廣了二項式定理，他將$\frac{1}{1+x}$展開並逐項積分，得到了自然對數的無窮級數。“自然對數”最早描述見於尼古拉斯·麥卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中，他也獨立發現了同樣的級數，即自然對數的麥卡托級數。

十八世纪

大約1730年，歐拉定義互為逆函數的指數函數和自然對數為：

$e^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{x}{n})}^n,$

$\ln (x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n(x^{\frac{1}{n}}-1)$

1742年威廉·琼斯發表了現在的冪指數概念。

形式定義

歐拉定義自然對數為序列的極限：

$\ln (x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n(x^{\frac{1}{n}}-1).$

$\ln (a)$正式定義為積分，

$\ln (a)=\underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{x}dx.$

這個函數為對數是因滿足對數的基本性質:

$\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b).$

這可以通過將定義了$\ln (ab)$的積分拆分為兩部份，並在第二部份中進行換元$x=ta$來證實:

$\ln (ab)=\underset{1}{\overset{ab}{\int }}\frac{1}{x}dx=\underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{x}dx+\underset{a}{\overset{ab}{\int }}\frac{1}{x}dx=\underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{x}dx+\underset{1}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{at}d(at)$

$=\underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{x}dx+\underset{1}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{t}dt=\ln (a)+\ln (b).$

冪公式$\ln (t^r)=r\ln (t)$可如下推出:

$\ln (t^r)=\underset{1}{\overset{t^r}{\int }}\frac{1}{x}dx=\underset{1}{\overset{t}{\int }}\frac{1}{u^r}d\left(u^r\right)=\underset{1}{\overset{t}{\int }}\frac{1}{u^r}\left(r{u}^{r-1}du\right)=r\underset{1}{\overset{t}{\int }}\frac{1}{u}du=r\ln (t).$

第二個等式使用了換元$u=x^{\frac{1}{r}}$。

自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示：

$\ln (x)=-\underset{ϵ\to 0}{\lim }\underset{ϵ}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dt}{t}(e^{-xt}-e^{-t}).$

性質

• $\ln (1)=\underset{1}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{t}dt=0$
• $\ln (-1)=i\pi$

(參見複數對數)

• $\ln (x)<\ln (y)\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}0<x<y$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1$
• $\ln (x^y)=y\ln (x)$
• $\frac{x-1}{x}\le \ln (x)\le x-1\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}x>0$
• $\ln (1+x^{\alpha })\le \alpha x\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}x\ge 0,\alpha \ge 1$

證明
$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+h)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+h)-\ln 1}{h}=\frac{d}{dx}\ln x{|}_{x=1}=1$

導數

自然對數的圖像和它在$x=1.5$處的切線。

$\ln (1+x)$的泰勒多項式只在$-1<x\le 1$範圍內有逐步精確的近似。

自然對數的導數為

$\frac{d}{dx}\ln (x)=\frac{1}{x}.$

證明一（微積分第一基本定理）:$\frac{d}{dx}\ln (x)=\frac{d}{dx}\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{t}dt=\frac{1}{x}$

證明二：按此影片Template:Wayback

$\frac{d}{dx}\ln (x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln (x+h)-\ln (x)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln (\frac{x+h}{x})}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }[\frac{1}{h}\ln (1+\frac{h}{x})]$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\ln {(1+\frac{h}{x})}^{\frac{1}{h}}$

设$u=\frac{h}{x}\Rightarrow ux=h$

$\frac{1}{h}=\frac{1}{ux}$

$\frac{d}{dx}\ln (x)=\underset{u\to 0}{\lim }\ln (1+u{)}^{\frac{1}{ux}}$

$=\underset{u\to 0}{\lim }\ln {[(1+u{)}^{\frac{1}{u}}]}^{\frac{1}{x}}$

$=\frac{1}{x}\underset{u\to 0}{\lim }\ln (1+u{)}^{\frac{1}{u}}$

设$n=\frac{1}{u}\Rightarrow u=\frac{1}{n}$

$\frac{d}{dx}\ln (x)=\frac{1}{x}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\ln {(1+\frac{1}{n})}^n$

$=\frac{1}{x}\ln \left[\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n\right]$

$=\frac{1}{x}\ln e$

$=\frac{1}{x}$

用自然對數定義的更一般的對數函數，${\log }_b(x)=\frac{\ln (x)}{\ln (b)}$，根據其逆函數即一般指數函數的性質，它的導數為：

$\frac{d}{dx}{\log }_b(x)=\frac{1}{x\ln (b)}.$

根據鏈式法則，以$f(x)$為參數的自然對數的導數為

$\frac{d}{dx}\ln [f(x)]=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}.$

右手端的商叫做$f$的Template:En-link，通過$\ln (f(x))$的導數的方法計算$f^{\prime }(x)$叫做對數微分。

冪級數

自然對數的導數性質導致了$\ln (1+x)$在0處的泰勒級數，也叫做麥卡托級數：

$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$

對於所有$\left|x\right|\le 1,$但不包括$x=-1.$

把$x-1$代入$x$中，可得到$\ln (x)$自身的級數。通過在麥卡托級數上使用歐拉變換，可以得到對絕對值大於1的任何$x$有效的如下級數:

$\ln \frac{x}{x-1}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n{x}^n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{3x^3}+\cdots .$

這個級數類似於贝利-波尔温-普劳夫公式。

還要注意到$\frac{x}{x-1}$是自身的逆函數，所以要生成特定數$y$的自然對數，簡單把$\frac{x}{x-1}$代入$x$中。

$\ln x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}{\left(\frac{x-1}{x}\right)}^n=\left(\frac{x-1}{x}\right)+\frac{1}{2}{\left(\frac{x-1}{x}\right)}^2+\frac{1}{3}{\left(\frac{x-1}{x}\right)}^3+\cdots$

對於$\mathrm{Re}(x)\ge \frac{1}{2}.$

自然數的倒數的總和

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k},$

叫做調和級數。它與自然對數有密切聯繫：當$n$趨於無窮的時候，差

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln (n),$

收斂於欧拉-马歇罗尼常数。這個關係有助於分析算法比如快速排序的性能。

積分

自然對數通過分部積分法積分:

$\int \ln (x)dx=x\ln (x)-x+C.$

假設:

$u=\ln (x)\Rightarrow du=\frac{dx}{x}$

$dv=dx\Rightarrow v=x$

所以:

$\begin{array}{cc}\int \ln (x)dx& =x\ln (x)-\int \frac{x}{x}dx\\ & =x\ln (x)-\int 1dx\\ & =x\ln (x)-x+C\end{array}$

自然對數可以簡化形如$g(x)=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$的函數的積分：$g(x)$的一個原函數給出為$\ln (|f(x)|)$。這是基於鏈式法則和如下事實:

$\frac{d}{dx}\ln \left|x\right|=\frac{1}{x}.$

換句話說，

$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$

且

$\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\ln |f(x)|+C.$

例子

下面是$g(x)=\tan x$的例子：

$\begin{array}{cc}\int \tan xdx& =\int \frac{\sin x}{\cos x}dx\\ & =\int \frac{-\frac{d}{dx}\cos x}{\cos x}dx.\\ \end{array}$

設$f(x)=\cos x$且$f^{\prime }(x)=-\sin x$：

$\begin{array}{cc}\int \tan xdx& =-\ln |\cos x|+C\\ & =\ln |\sec x|+C\\ \end{array}$

與雙曲函數的關係

在直角雙曲線(方程$y=\frac{1}{x}$)下，雙曲線三角形(黃色)，和對應於雙曲角$u$的雙曲線扇形(紅色)。這個三角形的邊分別是雙曲函數中$\cosh$和$\sinh$的$\sqrt{2}$倍。

射線出原點交單位雙曲線$x^2-y^2=1$於點$(\cosh a,\sinh a)$，這裡的$a$是射線、雙曲線和$x$軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點，這個面積被認為是負值。

在18世紀，約翰·海因里希·蘭伯特介入雙曲函數，並計算雙曲幾何中雙曲三角形的面積。對數函數是在直角雙曲線$xy=1$下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線$y=x$上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數指數函數，即要形成指定雙曲角$u$，在漸近線即x或y軸上需要有的$x$或$y$的值。顯見這裡的底邊是$(e^u+e^{-u})\frac{\sqrt{2}}{2}$，垂線是$(e^u-e^{-u})\frac{\sqrt{2}}{2}$。

通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：

• $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
• $\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線$xy=1$下雙曲角的$\frac{1}{2}$。

連分數

儘管自然對數沒有簡單的連分數，但有一些廣義連分數如:

$\begin{array}{cc}\ln (1+x)& =\frac{x^1}{1}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\cdots \\ & =\frac{x}{1-0x+\frac{1^{2}x}{2-1x+\frac{2^{2}x}{3-2x+\frac{3^{2}x}{4-3x+\frac{4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}\ln (1+\frac{x}{y})& =\frac{x}{y+\frac{1x}{2+\frac{1x}{3y+\frac{2x}{2+\frac{2x}{5y+\frac{3x}{2+\ddots }}}}}}\\ & =\frac{2x}{2y+x-\frac{(1x{)}^2}{3(2y+x)-\frac{(2x{)}^2}{5(2y+x)-\frac{(3x{)}^2}{7(2y+x)-\ddots }}}}\\ \end{array}$

這些連分數特別是最後一個對接近1的值快速收斂。但是，更大的數的自然對數，可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算，帶有類似的快速收斂。

例如，因為$2=1.25^3\times 1.024$，2的自然對數可以計算為:

$\begin{array}{cc}\ln 2& =3\ln (1+\frac{1}{4})+\ln (1+\frac{3}{125})\\ & =\frac{6}{9-\frac{1^2}{27-\frac{2^2}{45-\frac{3^2}{63-\ddots }}}}+\frac{6}{253-\frac{3^2}{759-\frac{6^2}{1265-\frac{9^2}{1771-\ddots }}}}.\\ \end{array}$

進而，因為$10=1.25^{10}\times 1.024^3$，10的自然對數可以計算為:

$\begin{array}{cc}\ln 10& =10\ln (1+\frac{1}{4})+3\ln (1+\frac{3}{125})\\ & =\frac{20}{9-\frac{1^2}{27-\frac{2^2}{45-\frac{3^2}{63-\ddots }}}}+\frac{18}{253-\frac{3^2}{759-\frac{6^2}{1265-\frac{9^2}{1771-\ddots }}}}.\\ \end{array}$

複數對數

Template:Main 指數函數可以擴展為對任何複數$x$得出複數值為$e^x$的函數，只需要簡單使用$x$為複數的無窮級數；這個指數函數的逆函數形成複數對數，並帶有正常的對數的多數性質。但是它涉及到了兩個困難：不存在$x$使得$e^x=0$；並且有著$e^{2\pi i}=1=e^0$。因為乘法性質仍適用於複數指數函數，$e^z=e^{z+2n\pi i}$，對於所有複數$z$和整數$n$。

所以對數不能定義在整個複平面上，並且它是多值函數，就是說任何複數對數都可以增加$2\pi i$的任何整數倍而成為等價的對數。複數對數只能在切割平面上是單值函數。例如，$\log i=\frac{1}{2}\pi i$或$\frac{5}{2}\pi i$或$-\frac{3}{2}\pi i$等等；儘管$i^4=1$，$4\log =i$不能定義為$2\pi i$或$10\pi i$或$-6\pi i$，以此類推。

• 自然對數函數在複平面（主分支）上的繪圖
• 
  z=Re(ln(x+iy))
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• 
• 
  前三圖的疊加

主值定義

對於每個非0複數$z=x+yi$，主值$\log z$是虛部位於區間$(-\pi ,\pi ]$內的對數。表達式$\log 0$不做定義，因為沒有複數$w$滿足$e^w=0$。

要對$\log z$給出一個公式，可以先將$z$表達為極坐標形式，$z=r{e}^{i\theta }$。給定$z$，極坐標形式不是確切唯一的，因為有可能向$\theta$增加$2\pi$的整數倍，所以為了保證唯一性而要求$\theta$位於區間$(-\pi ,\pi ]$內；這個$\theta$叫做幅角的主值，有時寫為$\arg z$或$\mathrm{atan}2(y,x)$。則對數的主值可以定義為 ：

$\mathrm{Log}z:=\text{ln }r+i\theta =\ln |z|+i\mathrm{Arg}z=\ln \sqrt{x^2+y^2}+i\mathrm{atan2}(y,x).$

例如，$\mathrm{Log}(-3i)=\ln 3-\frac{\pi i}{2}$。

科学應用

自然指数有应用於表达放射衰变（放射性）之类关于衰減的过程，如放射性原子数目的微分方程$N$随时间变化率$\frac{dN}{dt}=-pN$，常数$p$为原子衰变概率，积分得$N(t)=N(0)\exp (-pt)$。

延伸阅读

• John B. Conway, Functions of one complex variable, 2nd edition, Springer, 1978.
• Serge Lang, Complex analysis, 3rd edition, Springer-Verlag, 1993.
• Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964.
• Donald Sarason, Complex function theory Template:Wayback, 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.
• Template:Tsl and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.