模层

数学中，赋环空间$(X,O)$上O-模的层或O-模是层F，使得对开的$U\subseteq X$，$F(U)$是$O(U)$-模，$F(U)\to F(V)$的限制映射与$O(U)\to O(V)$的限制映射相容：$\mathrm{\forall }f\in O(U),s\in F(U)$，fs的限制是f的限制乘以s的限制。

标准情况是当X是概形，O是其结构层。若O是常层$\underset{\_}{𝐙}$，则O-模的层等同于阿贝尔群层（即阿贝尔层）。

若X是环R的主谱，则R-模会自然地确定一个$O_X$-模，称作相关层。相似地，若R是分次环，X是R的射影构造，则分次模会自然地确定一个$O_X$-模。这样产生的$O_X$-模是准凝聚层的例子，事实上在仿射与射影概形上，所有准凝聚层都可这样生成。

赋环空间上的模层形成阿贝尔范畴。而且这范畴有足内射（enough injective），因此定义了层上同调${\mathrm{H}}^i(X,-)$，为全局截面函子$\mathrm{\Gamma }(X,-)$的第i右导出函子。

例子

• 给定赋环空间$(X,O)$，若F是O的O-子模，则称之为O的理想层，因为对开的$U\subseteq X$，$F(U)$是环$O(U)$的理想。
• 设X为n维光滑簇，则X的切层是余切层${\mathrm{\Omega }}_X$的对偶，规范层${\omega }_X$是${\mathrm{\Omega }}_X$的n次外幂。
• 代数层是模层，也是环层。

运算

设$(X,O)$为赋环空间。若F和G都是O-模，则它们的张量积

$F{\otimes }_{O}G$ or $F\otimes G$,

也是O-模，与预层$U\mapsto F(U){\otimes }_{O(U)}G(U)$相关联（计算$O(1)\otimes O(-1)=O$的全局截面，其中$O(1)$是射影空间上的塞尔扭曲层，如此可知层化是不可避免的）。

同样，若F、G都是O-模，则

$\mathscr{H}o{m}_O(F,G)$

表示作为层$U\mapsto {\mathrm{Hom}}_{O{|}_U}(F{|}_U,G{|}_U)$的O-模。特别地，O-模

$\mathscr{H}o{m}_O(F,O)$

称作F的对偶模，记作$\check{F}$。注意：对任意O-模E、F，都有规范同态

$\check{E}\otimes F\to \mathscr{H}o{m}_O(E,F)$,

若E是秩有限的局部自由层，则就是同构。特别地，若L局部自由且秩为1（称这样的L是可逆层或线丛 ），则有

$\check{L}\otimes L\simeq O,$

这意味着可逆层的同构类构成群，称作X的皮卡第群，规范等同于第一上同调群${\mathrm{H}}^1(X,{𝒪}^{*})$（由标准的切赫上同调论证）。

若E是秩有限的局部自由层，则有配对给出的O-线性映射$\check{E}\otimes E\simeq {\mathrm{End}}_O(E)\to O$，称作E的迹映射。

对任意O-模F，其张量代数、外代数和对称代数的定义方式类似。例如，k次外幂

${\bigwedge }^{k}F$

是与预层$U\mapsto {\bigwedge }_{O(U)}^{k}F(U)$相关联的层。若F是秩为n的局部自由层，则${\bigwedge }^{n}F$称作F的行列式（determinant）线丛（严格说是可逆层），记作$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(F)$。有自然的完美配对：

${\bigwedge }^{r}F\otimes {\bigwedge }^{n-r}F\to \det (F).$

设$f(X,O)\to (X^{\prime },O^{\prime })$是赋环空间之间的态射。若F是O-模，则直像层$f_{*}F$通过自然映射$O^{\prime }\to f_{*}O$是OTemplate:'-模（这样的自然映射是赋环空间态射数据的一部分）。

若G是OTemplate:'-模，则G的模逆像$f^{*}G$是作为模的张量积的O-模：

$f^{-1}G{\otimes }_{f^{-1}{O}^{\prime }}O$

其中$f^{-1}G$是G的逆像层，$f^{-1}{O}^{\prime }\to O$由伴随从$O^{\prime }\to f_{*}O$得到。

$f_{*}$和$f^{*}$之间有伴随关系：对任意O-模F、OTemplate:'-模G，

${\mathrm{Hom}}_O(f^{*}G,F)\simeq {\mathrm{Hom}}_{O^{\prime }}(G,f_{*}F)$

是阿贝尔群。还有射影公式：对O-模F、秩有限的局部自由OTemplate:'-模E，

$f_{*}(F\otimes f^{*}E)\simeq f_{*}F\otimes E.$

性质

令$(X,O)$是赋环空间。O-模F，若有O-模的满射：

$\underset{i\in I}{⨁}O\to F\to 0.$

则称F是由全局截面生成的。明确地说，这意味着存在F的全局截面$s_i$使得$s_i$在每个茎$F_x$中的像生成了作为$O_X$-模的$F_x$。

代数几何中，R-模M（R是任意交换环）与环的谱$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R)$相关联，就是这种层的一个例子。

另一个例子：据嘉当定理A，施坦流形上的凝聚层都是由全局截面张成的（参下列塞尔定理A）。在概形论中，一个相关概念是充足线丛（ample line buldle，例如若L是充足线丛，那么它的某个幂是由全局截面生成的）。

内射O-模是弛的（flasque，即所有限制映射$F(U)\to F(V)$都是满射）。由于弛层在阿贝尔层范畴中是非周期性的，所以O-模范畴中的全局截面函子$\mathrm{\Gamma }(X,-)$的第i右导出函子与通常的阿贝尔层范畴中的第i层上同调相重合。

与模相关联的层

令M是环A上的模。置$X=\mathrm{Spec}(A)$ and write $D(f)=\{f\ne 0\}=\mathrm{Spec}(A[f^{-1}])$。对每对$D(f)\subseteq D(g)$，根据局部化的泛性质，有自然映射

${\rho }_{g,f}:M[g^{-1}]\to M[f^{-1}]$

有性质${\rho }_{g,f}={\rho }_{g,h}\circ {\rho }_{h,f}$。则

$D(f)\mapsto M[f^{-1}]$

是对象为集合$D(f)$、态射为集合包含的范畴，到阿贝尔群范畴的反变函子。可以证明它实际上是B-层（即其满足胶合公理），于是定义了X上的层$\tilde{M}$，称作与M相关联的层。

最基本的例子是X上的结构层，即${𝒪}_X=\tilde{A}$。此外，$\tilde{M}$具有${𝒪}_X=\tilde{A}$-模的结构，因此可得到A上模范畴$\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}A$到${𝒪}_X$上模范畴的正合函子$M\mapsto \tilde{M}$。其定义了$\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}A$到X上准凝聚层范畴的等价，其逆$\mathrm{\Gamma }(X,-)$是全局截面函子。X是诺特概形时，函子是从有限生成A-模到X上凝聚层范畴的等价。

此构造有以下性质：对任意A-模M、N与任意态射$\phi :M\to N$，

• $M[f^{-1}{]}^{\sim }=\tilde{M}{|}_{D(f)}$.
• 对A的任意素理想，${\tilde{M}}_p\simeq M_p$作为$O_p=A_p$-模。
• $(M{\otimes }_{A}N{)}^{\sim }\simeq \tilde{M}{\otimes }_{\tilde{A}}\tilde{N}$.
• 若M是有限表示模，${\mathrm{Hom}}_A(M,N{)}^{\sim }\simeq \mathscr{H}o{m}_{\tilde{A}}(\tilde{M},\tilde{N})$.
• 由于${\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}}_A$与X上准凝聚层范畴间的等价关系，${\mathrm{Hom}}_A(M,N)\simeq \mathrm{\Gamma }(X,\mathscr{H}o{m}_{\tilde{A}}(\tilde{M},\tilde{N}))$。
• $(\underrightarrow{\lim }{M}_i{)}^{\sim }\simeq \underrightarrow{\lim }\widetilde{M_i}$;特别是，取直和与~交换。
• 当且仅当$\sim$的诱导序列正合，称A-模序列正合。特别地，$(\ker (\phi ){)}^{\sim }=\ker (\tilde{\phi }),(\mathrm{coker}(\phi ){)}^{\sim }=\mathrm{coker}(\tilde{\phi }),(\mathrm{im}(\phi ){)}^{\sim }=\mathrm{im}(\tilde{\phi })$.

与分次模相关联的层

上一节中的构造与等价有一个分次类似物。令R是由$R_0$-代数（$R_0$表示度为0的元素）的度为1的元素生成的分次环，M是分次R-模。令X是R的射影构造（于是若R不是诺特环，则X是射影概形），则有O-模$\tilde{M}$，使得对R的度数为正的任意齐次元f，有自然同构

$\tilde{M}{|}_{\{f\ne 0\}}\simeq (M[f^{-1}{]}_0{)}^{\sim }$

作为仿射概形$\{f\ne 0\}=\mathrm{Spec}(R[f^{-1}{]}_0)$上的模层；实际上，这通过胶合定义了$\tilde{M}$。

例子：令$R(1)$为分次R-模：$R(1{)}_n=R_{n+1}$，则$O(1)=\widetilde{R(1)}$称作塞尔扭曲层，若R次数为1、是有限生成的，则塞尔扭曲层是重言线丛的对偶。

若F是X上的O-模，则$F(n)=F\otimes O(n)$就有规范同态：

${(\underset{n\ge 0}{⨁}\mathrm{\Gamma }(X,F(n)))}^{\sim }\to F,$

当且仅当F是准凝聚层时，它是同构。

计算层上同调

Template:Main 层上同调以难以计算而闻名。正因如此，下面的一般事实对任何实际计算都是重要的： Template:Math theorem

塞尔消失定理指出，若X是射影簇、F是其上的凝聚层，则对足够大的n，塞尔扭曲$F(n)$由有限多全局截面生成。此外，

• $\mathrm{\forall }i,H^i(X,F)$是在$R_0$上有限生成的；
• 有取决于F的整数$n_0$使得

$${\mathrm{H}}^i(X,F(n))=0,i\ge 1,n\ge n_0.$$

层扩张

令$(X,O)$是赋环空间，F、H是X上O-模的层。H对F的扩张是O-模的短正合列

$0\to F\to G\to H\to 0.$

与群扩张一样，若固定F、H，则H对F扩张的所有等价类构成阿贝尔群（参Baer和），其与Ext群${\mathrm{Ext}}_O^1(H,F)$同构，当中${\mathrm{Ext}}_O^1(H,F)$中的幺元对应平凡扩张。

H是O的情形下，有：$\mathrm{\forall }i\ge 0,$

${\mathrm{H}}^i(X,F)={\mathrm{Ext}}_O^i(O,F),$

因为两侧是同一个函子$\mathrm{\Gamma }(X,-)={\mathrm{Hom}}_O(O,-)$的右导出函子。

注: Hartshorne等学者不写下标O。

设X是诺特环上的射影概形。令F、G是X上的凝聚层，i是整数，则存在$n_0$使得

${\mathrm{Ext}}_O^i(F,G(n))=\mathrm{\Gamma }(X,ℰx{t}_O^i(F,G(n))),n\ge n_0$.

局部自由消解

$ℰ𝓍𝓉(ℱ,𝒢)$对任何凝聚层$ℱ$都可用局部自由消解轻松计算：给定复形

$\cdots \to {ℒ}_2\to {ℒ}_1\to {ℒ}_0\to ℱ\to 0$

则

$ℛ\mathscr{H}ℴ𝓂(ℱ,𝒢)=\mathscr{H}ℴ𝓂({ℒ}_{\bullet },𝒢)$

于是

${ℰ𝓍𝓉}^k(ℱ,𝒢)=h^k(\mathscr{H}ℴ𝓂({ℒ}_{\bullet },𝒢))$

例子

超曲面

考虑度数为d的光滑超曲面X，则可计算消解

$𝒪(-d)\to 𝒪$

并发现

${ℰ𝓍𝓉}^i({𝒪}_X,ℱ)=h^i(\mathscr{H}ℴ𝓂(𝒪(-d)\to 𝒪,ℱ))$

光滑完全交的并

考虑概形

$X=\text{Proj}\left(\frac{ℂ[x_0,\dots ,x_n]}{(f)(g_1,g_2,g_3)}\right)\subseteq {\mathbb{P}}^n$

其中$(f,g_1,g_2,g_3)$是光滑完全交，$\mathrm{deg}(f)=d,\mathrm{deg}(g_i)=e_i$。则有复形

$𝒪(-d-e_1-e_2-e_3)\stackrel{\left[\begin{array}{c}{g}_3\\ -g_2\\ -g_1\end{array}\right]}{\to }\begin{array}{c}𝒪(-d-e_1-e_2)\\ \oplus \\ 𝒪(-d-e_1-e_3)\\ \oplus \\ 𝒪(-d-e_2-e_3)\end{array}\stackrel{\left[\begin{array}{ccc}{g}_2& g_3& 0\\ -g_1& 0& -g_3\\ 0& -g_1& g_2\end{array}\right]}{\to }\begin{array}{c}𝒪(-d-e_1)\\ \oplus \\ 𝒪(-d-e_2)\\ \oplus \\ 𝒪(-d-e_3)\end{array}\stackrel{\left[\begin{array}{ccc}f{g}_1& f{g}_2& f{g}_3\end{array}\right]}{\to }𝒪$

消解了${𝒪}_X$，可用于计算${ℰ𝓍𝓉}^i({𝒪}_X,ℱ)$。

另见

• D-模
• 分式理想
• 全纯向量丛

参考文献

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