常层

数学中，拓扑空间X上与集合A相关联的常层（constant sheaf）是X上的集合层，其茎全部等于A，记作$\underset{\_}{A}$或$A_X$。值为A的常预层（constant presheaf）是为X的每个开子集赋A值的预层，其所有限制映射都是恒等映射$A\to A$。关联于A的常层是关联于A的常预层的层化。这个层等同于X上局部常的A-值函数的层。

有时，集合A可换成某范畴$\mathbf{\text{C}}$中的对象A（如$\mathbf{\text{C}}$是阿贝尔群范畴或交换环范畴）。

阿贝尔群的常层会作为系数出现于层上同调。

基本情形

设X为拓扑空间，A为集合。常层$\underset{\_}{A}$在开集U上的截面可解释为连续函数$U\to A$，其中A具有离散拓扑。若U连通，则这些局部常函数就是常的。若$f:X\to \{\text{pt}\}$是到单点空间的唯一映射，A被视作$\{\text{pt}\}$上的层，则逆像$f^{-1}A$是X上的常层$\underset{\_}{A}$。$\underset{\_}{A}$的层空间是射影映射A（其中$X\times A\to X$被赋予离散拓扑）。

详细例子

2点离散空间上的常预层

2点离散拓扑空间

设X是两点p、q组成的拓扑空间，具有离散拓扑。X有4个开集：$\varnothing ,\{p\},\{q\},\{p,q\}$。图中显示了X的开集的5个非平凡包含。 X上的预层为X的每个开集选择一个集合，并为9个包含（5个非平凡，4个平凡）的每个选择一个限制映射。值为$\mathbf{\text{Z}}$的常预层（将表为F）选择4个集合均为$\mathbf{\text{Z}}$（整数集）、选择9个限制映射均为恒等映射。F是函子，因此也是预层，因为它是常的；其满足胶合公理，但不是层，因为在空集上局部恒等公理失效——空集被空集族覆盖：空集上F的任意两截面限制到空集族的任何集合都相等。因此，局部恒等公理意味着F在空集上的任意两截面都相等，但实际上并非如此。

类似地，在空集上满足局部恒等公理的预层G的构造如下。设$G(\varnothing )=0$，其中0是单元集。在非空集合上，为G赋值$\mathbf{\text{Z}}$。对开集的每个包含，若较小的集合是空的，则G返回到0的唯一映射；否则，返回$\mathbf{\text{Z}}$上的恒等映射。

常层的中间步骤

注意：由于空集的局部恒等公理，所有涉及空集的限制映射都是无趣的。这适用于任何满足空集局部恒等公理的预层，尤其适用于任何层。 G是分离预层（即满足局部恒等公理），但不满足胶合公理，这与F不同。$\{p,q\}$被两开集$\{p\},\{q\}$覆盖，交为空。$\{p\}$或$\{q\}$上的截面是$\mathbf{\text{Z}}$的元素，即是一个数。选择$\{p\}$上的截面m、$\{q\}$上的截面n，假定$m\ne n$；由于m、n在$\varnothing$上限制于同一个元素0，胶合公理要求在$G(\{p,q\})$上存在唯一截面s，其在$\{p\}$上限制到m，在$\{q\}$上限制到n。但由于$\{p,q\}$到$\{p\}$的限制映射是恒等映设，所以$s=m,s=n$，于是有$m=n$，自相矛盾。

2点拓扑空间上的常层

$G(\{p,q\})$太小了，无法同时携带$\{p\}$、$\{q\}$的信息。设$H(\{p,q\})=𝐙\otimes 𝐙$，就可以将其放大以满足胶合公理。令${\pi }_1$、${\pi }_2$为两射影映射$𝐙\otimes 𝐙\to 𝐙$；定义$H(\{p\})=\text{im}({\pi }_1)=𝐙$，$H(\{q\})=\text{im}({\pi }_2)=𝐙$。对剩下的开集和包含，令$H=G$。H是X上的常层，值为$\mathbf{\text{Z}}$。由于$\mathbf{\text{Z}}$是环，且所有限制映射都是环同态，所以H是交换环层。

另见

• 局部常层

参考文献

• Section II.1 of Template:Citation
• Section 2.4.6 of Template:Citation