伴隨函子

在範疇論中，函子$F,G$若滿足$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(F(-),-)=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(-,G(-))$，則稱之為一對伴隨函子，其中$G$稱為$F$的右伴隨函子，而$F$是$G$的左伴隨函子。伴隨函子在範疇論中是個極基本而有用的概念。

定義

設$F:{𝒞}_1\to {𝒞}_2,G:{𝒞}_2\to {𝒞}_1$為函子，若存在雙函子的同構

${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{{𝒞}_2}(F(-),-)\simeq {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{{𝒞}_1}(-,G(-))$

則稱$F,G$為一對伴隨函子，$G$稱為$F$的右伴隨函子，而$F$是$G$的左伴隨函子。

上述同構進一步給出兩個同構

${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{{𝒞}_2}(F\circ G(-),-)\simeq {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{{𝒞}_1}(G(-),G(-))$

${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{{𝒞}_2}(F(-),F(-))\simeq {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{{𝒞}_1}(-,G\circ F(-))$

分別在同構的左右兩側置${\mathrm{i}\mathrm{d}}_{F(-)}$與${\mathrm{i}\mathrm{d}}_{G(-)}$，遂得到函子間的態射（即自然變換）：

${\mathrm{i}\mathrm{d}}_{{𝒞}_1}\to G\circ F$（單位）

$F\circ G\to {\mathrm{i}\mathrm{d}}_{{𝒞}_2}$（上單位）

定義中的雙函子同構由單位與上單位唯一決定。

正合性

设$F,G$是一對伴隨函子，若$F$為右正合则$G$為左正合；此命題可由正合函子與極限的定義直接導出。

例子

伴隨函子在數學中處處可見，以下僅舉出幾個例子：

• 自由對象與遺忘函子是一對伴隨函子，舉群範疇為例，此時單位態射不外是集合$X$到它生成的自由群$F(X)$的包含映射。
• 積與Template:Link-en。
• 設$R$為環，$M$為右$R$-模，則$M{\otimes }_R-{:}_R𝐌𝐨𝐝\to 𝐀𝐛$與${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbb{Z}}(-,M):𝐀𝐛{\to }_R𝐌𝐨𝐝$為一對伴隨函子。當$R$可交換時，上式的$\mathbb{Z}$可代為$R$，$𝐀𝐛$可代為${}_R𝐌𝐨𝐝$。
• 層的正像與逆像。
• 群表示理論中的弗羅貝尼烏斯互反定理（詳閱Template:Link-en）。

文獻

• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3-540-27949-0

外部連結

• Pierre Schapira, Categories and Homological Algebra