概形

概形（Template:Lang-en）是代數幾何學中的一個基本概念。概形是由亞歷山大在他1960年的论文《代數幾何基礎》中提出的，其中一個目的是為了解決代数几何中的一些問題，例如Template:Link-en 。建立在交換代數的基礎之上，概形理論允許使用拓扑学、同調代數中有系統的方法。概形理論也將許多代數幾何和數論的問題統一，這也使得懷爾斯得以證明费马最后定理。

定義

給定一個局部賦環空間$(X,{𝒪}_X)$，如果對$X$的一個開集$V$，$(V,{𝒪}_X{|}_V)$是仿射概形，稱$V$爲仿射開集。

一個局部賦環空間$(X,{𝒪}_X)$稱爲概形，如果$X$的每一點$x$都有仿射開邻域，即包含$x$的仿射開集。

直觀上說，概形是由仿射概形粘起來得到的，正如流形是由歐幾里得空間粘起來得到的。

兩個概形之間的態射就是它們作爲局部賦環空間的態射。

概形範疇

全體概形構成範疇，其態射取為局部賦環空間之間的態射（另見Template:Link-en）。給定概形$Y$，所謂$Y$之上的概形$X$（又稱$Y$-概形）即是概形間的態射$X\to Y$。交換環$R$上的概形$X$即是態射$X\to \mathrm{Spec}(R)$。

域$k$上的代數簇可定義為$k$上的滿足特定條件的概形，但對於具體何種概形可稱為簇，有不同約定，其中一種定義為$k$之上Template:Le的整、分離概形。

態射$f:X\to Y$確定了正則函數環上的拉回同態$f^{*}:𝒪(Y)\to 𝒪(X)$。對於仿射概形，此構造給出概形態射$\mathrm{Spec}(A)\to \mathrm{Spec}(B)$與環同態$B\to A$之間的一一對應。Template:Sfn此意義下，概形論包含了交換環論的全部內容。

由於$\mathbb{Z}$是Template:Link-en的始对象，概形範疇對應以$\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$為終對象。對於交換環$R$上的概形$X$，所謂$X$的$R$值點即是態射$X\to \mathrm{Spec}(R)$的Template:Link-en，全體$R$值點的集合記作$X(R)$，其對應的古典概念是定義$X$的方程組在$R$中的解集。若$R$實為域$k$，則$X(k)$亦稱為$X$的$k$-Template:Link-en集。

推而廣之，設有交換環$R$，其上有概形$X$和交換代數$S$，則$X$的$S$值點定義為$R$之上的態射$\mathrm{Spec}(S)\to X$（該態射需要與射向$\mathrm{Spec}(R)$的態射組成交換圖表），$S$值點的集合記作$X(S)$。（類比到方程組的情況，相當於將某個域$k$擴張成$E$，再考慮$E$中的解集。）固定$R$及其上的概形$X$時，映射$S\mapsto X(S)$為自交換$R$代數範疇至集合範疇的函子。$R$上的概形$X$可從此Template:Le確定。Template:Sfn

Template:Link-en總存在：對任意兩態射$X\to Y,Z\to Y$，皆可在概形範疇內找到纖維積$X{\times }_{Y}Z$（即範疇學拉回）。若$X,Z$為域$k$上的概形，則兩者在$\mathrm{Spec}(k)$上的纖維積可以視為$k$-概形範疇中的積，例如仿射空間${𝔸}^m$與${𝔸}^n$在$k$上之積正是${𝔸}^{m+n}$。

由於概形範疇既有纖維積，又有終對象$\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$，其有齊全部有限极限。

歷史

概形的概念是由亞歷山大·格羅滕迪克在20世紀50年代引入的。一開始稱為“預概形”（法語：Template:Lang，英語：Template:Lang），1967年左右改稱現名。

概形的中文名稱源自日文“概型”。

例

• 仿射概形的開子集不一定仿射，因此需要考慮（非仿射的）一般概形。例如，設$X={𝔸}^n\setminus \{0\}$（基域取複域$ℂ$為例），則當$n\ge 2$時，$X$不為仿射。（但對於$n=1$的情況，仿射直線挖去原點，同構於仿射概形$\mathrm{Spec}ℂ[x,x^{-1}]$。）欲證$X$非仿射，可以證出當$n\ge 2$時，$X$上的每個正則映射，皆可延拓至${𝔸}^n$上。（對正則映射較易證明；對解析函數，則是複分析的Template:Link-en）。換言之，嵌入$f:X\to {𝔸}^n$導出自$𝒪({𝔸}^n)=ℂ[x_1,\dots ,x_n]$至$𝒪(X)$的環同構。假若$X$仿射，將由此得出$f$本身亦為同構，但$f$不為滿射，矛盾。因此，概形$X$不為仿射。Template:Sfn
• 設$k$為域，則可數積${\prod }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}k$的譜$\mathrm{Spec}\left({\prod }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}k\right)$為仿射概形，底下的拓撲空間為正整數集（離散）的斯通-切赫緊化，因為質理想與正整數集上的超滤子一一對應：超濾子$ℱ$對應質理想

  $I=\{x\in \prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}k:\{n\in {\mathbb{Z}}^{+}:x_n=0\}\in ℱ\},$

  特別地，正整數$n$對應的主超濾子，對應的質理想是$\{x:x_n=0\}$。Template:Sfn本例仿射概形為零維空間，故而每點自成一個Template:Link-en。由於仿射概形皆擬緊，本例是擬緊但具有無窮多個既約分支的概形。（Template:Link-en則與之相對，衹有有限多個既約分支。）

參考文獻

• Template:Cite journal
• Template:Cite book
• Template:Cite book

參見

• 《代數幾何基礎》

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