非结合代数

Template:环论 非结合代数Template:SfnTemplate:Rp（或分配代数，distributive algebra）是域上的代数，其中乘法不必遵循结合律。即，有代数结构A、域K，若A是K上配备K-双线性乘法$A\times A\to A$（不必符合结合律）的向量空间，则称其为K上的非结合代数。例如李代数、约尔丹代数、八元数、具备叉积的3维欧氏空间。由于乘法不必结合，须用括号表示乘法的顺序，比如(ab)(cd)、(a(bc))d、a(b(cd))的含义是不一样的。

这里的“非结合”是说不必结合，而非必不结合，就像非交换环的“非交换”是说“不必交换”。

若代数有单位元e，使得$\mathrm{\forall }x,ex=x=xe$，则称代数是含幺的或酉的。例如，八元数是含幺的，而李代数绝不含幺。

A的非结合代数结构可与A的K-自同态的全代数的子代数（是结合代数）相关联，作为K-向量空间研究。两个例子是微分代数与（结合）包络代数，后者有“包含A的最小结合代数”的意味。

更一般地，有人提出交换环R上非结合代数的概念：具备R-双线性乘法的R-模。Template:SfnTemplate:Rp若一结构服从除结合律外所有环的公理（如R代数），则就自然是$\mathbb{Z}$-代数，所以有人称非结合$\mathbb{Z}$-代数为非结合环。

满足恒等式的代数

具有两种二元运算、无其他限制的类环结构分很多种类，难以一同研究。所以，最为人所知的非结合代数要满足一些恒等式（即性质），这样稍微简化了乘法。一般来说有如下这些。

一般性质

令x, y, z表示域K上代数A的任意元素。 正整数次幂可以递归地定义为$x^1:=x;x^{n+1}:=x^{n}x$Template:SfnTemplate:Rp（右幂）或$x^{n+1}:=x{x}^n$Template:SfnTemplate:RpTemplate:SfnTemplate:Rp（左幂）。

• 含幺：存在元素e使得$ex=x=xe$；这时可以定义$x^0:=e.$
• 结合性：$(xy)z=x(yz).$
• 交换性：$xy=yx.$
• 反交换性：Template:SfnTemplate:Rp$xy=-yx.$
• 雅可比恒等式：Template:SfnTemplate:RpTemplate:SfnTemplate:Rp$(xy)z+(yz)x+(zx)y=0;x(yx)+y(zx)+z(xy)=0.$
• 约尔丹恒等式：Template:SfnTemplate:RpTemplate:SfnTemplate:Rp$(x^{2}y)x=x^2(yx);(xy)x^2=x(y{x}^2).$
• 交替性：Template:SfnTemplate:RpTemplate:SfnTemplate:RpTemplate:SfnTemplate:Rp$(xx)y=x(xy)$（左交替）；$(yx)x=y(xx)$（右交替）。
• 柔性：Template:SfnTemplate:RpTemplate:SfnTemplate:Rp$(xy)x=x(yx)$。
• n次幂结合性（n ≥ 2）：$\mathrm{\forall }k,(0<k<n),x^{n-k}{x}^k=x^n$，其中k是整数。
  • 三次幂结合性：$x^{2}x=x{x}^2.$
  • 四次幂结合性：$x^{3}x=x^2{x}^2=x{x}^3$（比较下面的“四次幂交换性”）。
• 幂结合性：Template:SfnTemplate:RpTemplate:SfnTemplate:RpTemplate:SfnTemplate:RpTemplate:SfnTemplate:RpTemplate:SfnTemplate:Rp任意元素生成的子代数结合，即对n ≥ 2，有n次幂结合。
• n次幂交换性，其中n ≥ 2：$\mathrm{\forall }k(0<k<n),x^{n-k}{x}^k=x^k{x}^{n-k}$，其中k是整数。
  • 三次幂交换性：$x^{2}x=x{x}^2$。
  • 四次幂交换性：$x^{3}x=x{x}^3$（比较上面的“四次幂结合性”'）。
• 幂交换性：任意元素生成的子代数交换，即n次幂交换（n ≥ 2）。
• 索引n ≥ 2的幂零：任意n个元素之积，在任意结合次序下为零，但n−1个元素时不总成立：$x_1{x}_2\dots x_n=0,\mathrm{\exists }n-1$个元素y使得在某结合次序下$y_1{y}_2\dots y_{n-1}\ne 0.$
• 索引n ≥ 2的零：幂结合性、$x^n=0$，存在元素y使得$y^{n-1}\ne 0.$

性质之间的关系

对特征任意的K：

• 结合性推出交替性。
• 左交替、右交替、柔性知二推三。
  • 因此交替性推出柔性。
• 交替性推出约尔丹恒等式。Template:SfnTemplate:RpTemplate:Efn
• 交换性导出柔性。
• 反交换性导出柔性。
• 交替性导出幂结合性。Template:Efn
• 柔性导出三次幂结合性。
• 二次幂结合和二次幂交换为真。
• 三次幂结合和三次幂交换等价。
• n次幂结合推出n次幂交换。
• 索引2的零推出反交换性。
• 索引2的零推出约尔丹恒等式。
• 索引3的幂零推出雅可比恒等式。
• 索引n的幂零推出索引N的零，其中2 ≤ N ≤ n。
• 含幺与索引n的零不相容。

若$K\ne \mathrm{G}\mathrm{F}(2)$或$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(A)\le 3:$

• 约尔丹恒等式与交换性共同推出幂结合性。Template:SfnTemplate:RpTemplate:SfnTemplate:RpTemplate:SfnTemplate:Rp

若$\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(K)\ne 2:$

• 右交替性推出幂结合性。Template:SfnTemplate:RpTemplate:SfnTemplate:RpTemplate:SfnTemplate:RpTemplate:SfnTemplate:Rp
  • 相似地，左交替性推出幂结合性。
• 含幺与约尔丹恒等式共同推出柔性。Template:SfnTemplate:Rp
• 约尔丹恒等式与柔性共同推出幂结合性。Template:SfnTemplate:Rp
• 交换性与反交换性共同推出索引2的幂零。
• 反交换性推出索引2的零。
• 含幺与反交换不相容。

若$\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(K)\ne 3$：

• 含幺和雅克比恒等式不相容。

若$\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(K)\notin \{2,3,5\}:$

• 交换性与$x^4=x^2{x}^2$（定义四次幂结合性的两等式之一）共同推出幂结合性。Template:SfnTemplate:Rp

若$\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(K)=0:$

• 三次幂结合性与$x^4=x^2{x}^2$（定义四次幂结合性的两等式之一）共同推出幂结合性。Template:SfnTemplate:Rp

若$\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(K)=2:$

• 交换性与反交换性等价。

结合子

Template:Main A上的结合子是K-线性映射$[\cdot ,\cdot ,\cdot ]:A\times A\times A\to A$：

$[x,y,z]=(xy)z-x(yx)$

它度量了A非结合的程度，可以很方便地表示一些A满足的式子。

令x, y, z表示域代数的任意元素。

• 结合律：$[x,y,z]=0.$
• 交替性：$[x,x,y]=0$（左交替）及$[y,x,x]=0$（右交替）。
  • 这意味着交换任意两项都会变号：$[x,y,z]=-[x,z,y]=-[z,y,x]=-[y,x,z].$反例仅当$\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(K)\ne 2.$
• 柔性：$[x,y,x]=0.$
  • 可知，交换极值项将变号：$[x,y,z]=-[z,y,x].$反例仅当$\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}(K)\ne 2.$
• 约尔丹恒等式：Template:SfnTemplate:Rp$[x^2,y,x]=0$或$[x,y,x^2]=0$，取决于学者。
• 三次幂结合性：$[x,x,x]=0.$

核是与其他元素结合的元素的集合，Template:SfnTemplate:Rp即$n\in A$，使得

$[n,A,A]=[A,n,A]=[A,A,n]=0.$

核是A的结合子环。

中心

A的中心是与A中所有元素都交换、结合的元素的集合，即

$C(A)=\{n\in A|nr=rn\mathrm{\forall }r\in A\}$

与核之交。对C(A)中的元素，$([n,A,A],[A,n,A],[A,A,n])$中两个集合若是$\{0\}$，则第三个集合也是零集。

例子

• 欧几里得空间${ℝ}^3$，乘法由叉积给出。这是反交换、非结合代数的例子。叉积还满足雅可比恒等式。
• 李代数是满足反交换与雅可比恒等式的代数。
• 微分流形上的向量场代数（若K是R或C）或代数簇（对一般的K）；
• 约尔丹代数是满足交换律与约尔丹恒等式的代数。Template:SfnTemplate:Rp
• 结合代数都可通过以交换子为李括号，给出李代数。实际上，李代数要么可以这样构造，要么是这样构造的李代数的子代数。
• 定义新的乘法$x^{*}y=(xy+yx)/2$，则特征不是2的域上的结合代数给出约尔丹代数。与李代数不同，只有一部分约尔丹代数能这样构造，称作特殊约尔丹代数。
• 交替代数是满足交替性的代数。最重要的例子是八元数（实数上的代数），以及八元数在其他域上的推广。结合代数都交替。在同构意义上，仅有的有限维实交替除代数（下详）是实数、复数、四元数和八元数。
• 幂结合代数，是满足幂结合恒等式的代数。例如所有结合代数、所有交替代数、GF(2)以外任意域上的约尔丹代数（上详）与十六元数。
• R上的双曲四元数代数，是为解释狭义相对论而引入闵可夫斯基时空前的实验性代数。

更多种类代数：

• 分次代数，包括大部分对多重线性代数具有重大意义的代数，如张量代数、对称代数、给定向量空间上的外代数等等。分次代数可推广到滤子代数。
• 除代数，其中存在乘法逆元。实数域上有限维交替除代数的分类已完成。有实数（1维）、复数（2维）、四元数（4维）、八元数（8维）。四元数和八元数不交换；八元数不结合。
• 二次代数要求$xx=re+sx$，其中r、s属于底域（ground field），e是代数的单位。例子如有限维交替代数、实2阶方阵代数。在同构的意义上，没有零的除子的交替、二次实代数只有实数、复数、四元数和八元数。
• 凯莱–迪克森代数（其中K是R），始于：
  • C（交换结合代数）；
  • 四元数H（结合代数）；
  • 八元数（交替代数）；
  • 十六元数及凯莱-迪克森代数的无限序列（幂结合代数）。
• 超复数代数都是有限维含幺R-代数，于是包含凯莱-迪克森代数等等。
• 泊松代数见于几何量子化。其中有2个乘法，以不同方式将其变为结合代数与李代数。
• 遗传代数是非结合代数，在数学遗传中使用。
• 三元系

性质

环论与结合代数中的性质，对非结合代数来说不总成立，例如有（双边）乘法逆元的元素也可能是零除子：十六元数所有非零元都有双边逆，而其中有些是零除子。

自由非结合代数

域K上集合X上的自由非结合代数定义为基包含所有非结合单项式的代数，X的元素的有限形式积写出圆括号，例如单项式u、v之积只是$(u)(v).$若取空积为单项式，则代数含幺。Template:SfnTemplate:Rp

Kurosh证明，自由非结合代数的子代数都是自由的。Template:SfnTemplate:Rp

结合代数

域K上的代数A若是K-向量空间，可考虑A的K-线性向量空间内自同态的结合代数$\mathrm{E}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{\mathrm{K}}\mathrm{(}\mathrm{A}\mathrm{)}$。可将$\mathrm{E}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{\mathrm{K}}\mathrm{(}\mathrm{A}\mathrm{)}$的两子代数关联到A上的代数结构：微分代数与（结合）包络代数。

微分代数

Template:Main A上的导子是映射D，具有性质

$D(x\cdot y)=D(x)\cdot y+x\cdot D(y).$

A上的导子形成了子空间${\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}}_K(A)\in \mathrm{E}\mathrm{n}{\mathrm{d}}_{\mathrm{K}}\mathrm{(}\mathrm{A}\mathrm{)}$。两导子的交换子仍是导子，所以李括号给出${\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}}_K(A)$，具有李代数结构。Template:SfnTemplate:Rp

包络代数

代数A的元素a都附有线性映射L、R：Template:SfnTemplate:Rp

$L(a):x\mapsto ax;R(a):x\mapsto xa.$

A的结合包络代数或乘法代数是由左右线性映射生成的结合代数。Template:SfnTemplate:RpTemplate:SfnTemplate:RpA的中心体（centoid）是自同态代数${\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}}_K(A)$中的包络代数的中心化子。若代数的中心体包含单位元的K-标量乘，则称代数是中心的。Template:SfnTemplate:Rp

非结合代数满足的部分可能等式可用线性映射方便地表示：Template:SfnTemplate:Rp

• 交换性：L(a)等于相应的R(a)；
• 结合性：L与任意R交换；
• 柔性：L(a)都与相应的R(a)交换；
• 约尔丹：L(a)与$R(a^2)$交换；
• 交替：$L(a{)}^2=L(a^2)$，右式亦如此。

二次表示Q定义为Template:SfnTemplate:Rp

$Q(a):x\mapsto 2a\cdot (a\cdot x)-(a\cdot a)\cdot x$,

等价地

$Q(a)=2L^2(a)-L(a^2).$

泛包络代数条目描述了包络代数的规范构造，及它们的PBW型定理。对于李代数，这样的包络代数具有泛性质，但对其他非结合代数通常不成立。最知名的例子可能是阿尔伯特代数，是一种特殊的约尔丹代数，不能用约尔丹代数的包络代数的规范结构来包络。

参考文献

• Template:Cite book
• Template:Cite journal
• Template:Cite journal
• Template:Cite book
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