八元数

Template:Numbers 八元数（Template:Lang-en）是以實數構建的8維度賦範可除代數，為四元数非结合推广的超複數，通常记为O或$𝕆$。八元數的8個維度可以視為2個4維度之四元數的組合。八元數不具備結合律和交換律，但具備交错代数的特性，並保有冪結合性。

也许是因为八元数的乘法不具備结合性，因此它们作為超複數而言受關注的程度較四元数低。尽管如此，八元数仍然与数学中的一些例外结构有关，其中包括例外李群。此外，八元数在诸如弦理论、狭义相对论和Template:Link-en中也有应用。

歷史

八元數第一次被描述於1843年，於一封Template:Link-en給威廉·盧雲·哈密頓的信中。格雷夫斯稱其為「octaves」。Template:Rp後來八元數由阿瑟·凯莱在1845年獨自發表。格雷夫斯發表結果的時間點比阿瑟·凯莱發表的時間稍晚一些。阿瑟·凯莱發表的八元數和约翰·格雷夫斯給威廉·盧雲·哈密頓的信中所提及的並無關係。阿瑟·凯莱是獨自發現八元數的，因此八元數又被稱為凯莱數或凯莱代數。哈密頓則描述了八元數被發現並描述的早期歷史。

定义

八元数可以视为实数的八元组。八元数有多種構造方式。以凯莱-迪克森结构為例，八元数可以表達為2個四元數Template:Math與Template:Math的組合，即Template:Math或$p_0+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+(q_0+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k)l$，其中，量Template:Math為其中一個八元数單位並滿足：

$i^2=j^2=k^2=l^2=-1$

在這種定義下每一个八元数都是单位八元数Template:Math的线性组合。也就是说，每一个八元数x都可以写成

$x=x_0+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k+x_{4}l+x_{5}il+x_{6}jl+x_{7}kl$

其中系数Template:Math是实数。 這些八元数單位亦滿足：

$i^2=j^2=k^2=l^2=(il{)}^2=(jl{)}^2=(kl{)}^2=-1$

八元数的加法是把对应的系数相加，就像复数和四元数一样。根据线性，八元数的乘法完全由以下单位八元数的乘法表来决定。 Template:乘法表 一些不同的定義方式會將八元數的單位元素表達為Template:Math的線性組合，其中Template:Math：

$\{e_0,e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6,e_7\},$

當中的$e_0$為實數單位。每個八元數單位元素皆不相等，而其平方為實數。也就是說，每個八元數Template:Math都可以寫成以下形式：

$x=x_0{e}_0+x_1{e}_1+x_2{e}_2+x_3{e}_3+x_4{e}_4+x_5{e}_5+x_6{e}_6+x_7{e}_7,$Template:Rp

其中Template:Mvar為單位元素Template:Mvar的係數，且必為實數。八元數的加法和減法是通過加減相應的項以及它們的係數來完成的，與四元數的加減法類似。 乘法則較為複雜。 八元數的乘法是對加法的分配，所以兩個八元數的乘積可以通過對所有項的乘積求和來計算，再次如同四元數一般。 每對項的乘積可以通過係數的乘積和單位八元數的乘法表給出，其乘法表的結構與Template:Math的模式（$p_0+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+(q_0+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k)l$）類似。這個乘法表先後由Graves於1843年和Cayley於1845年描述：

$e_i{e}_j$		$e_j$
		$e_0$	$e_1$	$e_2$	$e_3$	$e_4$	$e_5$	$e_6$	$e_7$
$e_i$	$e_0$	$e_0$	$e_1$	$e_2$	$e_3$	$e_4$	$e_5$	$e_6$	$e_7$
	$e_1$	$e_1$	$-e_0$	$e_3$	$-e_2$	$e_5$	$-e_4$	$-e_7$	$e_6$
	$e_2$	$e_2$	$-e_3$	$-e_0$	$e_1$	$e_6$	$e_7$	$-e_4$	$-e_5$
	$e_3$	$e_3$	$e_2$	$-e_1$	$-e_0$	$e_7$	$-e_6$	$e_5$	$-e_4$
	$e_4$	$e_4$	$-e_5$	$-e_6$	$-e_7$	$-e_0$	$e_1$	$e_2$	$e_3$
	$e_5$	$e_5$	$e_4$	$-e_7$	$e_6$	$-e_1$	$-e_0$	$-e_3$	$e_2$
	$e_6$	$e_6$	$e_7$	$e_4$	$-e_5$	$-e_2$	$e_3$	$-e_0$	$-e_1$
	$e_7$	$e_7$	$-e_6$	$e_5$	$e_4$	$-e_3$	$-e_2$	$e_1$	$-e_0$

除了主對角線上以及$e_0$作為操作數的行和列的元素之外，乘法表中的大多數非對角元素都是反對稱的，這使得這個乘法表幾乎是一個斜對稱矩陣。

該表可總結如下：

$e_i{e}_j=\{\begin{array}{cc}{e}_j,& \text{if }i=0\\ e_i,& \text{if }j=0\\ -{\delta }_{ij}{e}_0+{\epsilon }_{ijk}{e}_k,& \text{otherwise}\end{array}$

其中Template:Mvar為克罗内克δ函数（當且僅當Template:Math時為1）、 Template:Mvar為Template:Link-en，且當Template:Math時，值為1。

然而，上述定義並不是唯一的。這些定義只是$e_0=1$八元數乘法的480個可能定義之一。其他的八元數乘法定義可以透過置換和改變非標量基元素$\{e_0,e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6,e_7\},$的符號來獲得。這480個不同乘法定義對應的代數結構是同構的，很少需要考慮使用哪個特定的乘法規則。

這480個八元數乘法定義中，每一定義的正負號在7循環（1234567）下的特定點上都是不變的，並且對於每個7循環有四個定義，它們的區別在於正負號和順序的反轉。 一個常見的選擇是使用 Template:Math的7循環（1234567）下的定義不變量 — 通過使用三角乘法圖或下面的 法诺平面，該平面還顯示了基於124的7循環三元組及其相關乘法的排序列表Template:Math和$ijkl$格式的矩陣。

此外，亦有一些文獻會將八元數的單位定義為$1,i,j,k,L,m,n,o$。

凯莱-迪克松构造

Template:Main 一个更加系统的定义八元数的方法，是通过凯莱-迪克松构造。就像四元数可以用一对复数来定义一样，八元数可以用一对四元数来定义。两对四元数$(a,b)$和$(c,d)$的乘积定义为：Template:Rp

$(a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+b{c}^{*})$

其中$z^{*}$表示四元数$z$的共轭。这个定义与上面给出的定义是等价的。

法诺平面记忆

八元数的乘积的简单记忆。

一个用来记忆八元数的乘积的方便办法，由右面的图给出。这个图中有七个点和七条直线（经过i、j和k的圆也視為一条直线），称为Template:Link-en。这些直线是有向的。七个点对应于Template:Math的七个标准基元素。每一对不同的点位于唯一的一条直线上，而每一条直线正好通过三个点。

设Template:Math为位于一条给定的直线上的三个有序点，其顺序由箭头的方向指定。那么，乘法由下式给出：

Template:Math

以及它们的Template:Link-en。这些规则

• 1是乘法单位元，
• 对于图中的每一个点，都有$e^2=-1$

完全定义了八元数的乘法结构。七条直线的每一条都生成了$𝕆$的一个子代数，与四元数$ℍ$同构。Template:Rp

共轭、範数和逆元素

八元数

$x=x_0+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k+x_{4}l+x_{5}il+x_{6}jl+x_{7}kl$

的共轭为：

$x^{*}=x_0-x_{1}i-x_{2}j-x_{3}k-x_{4}l-x_{5}il-x_{6}jl-x_{7}kl.$

當中除了實數項外，其餘項正負號皆相反。因此若將八元數單位表達為Template:Math，則八元数的共轭可以簡化表示為：Template:Rp

$x^{*}=\bar{x}=x_0{e}_0-x_i{e}_i,i=1,2\cdots 7$

共轭是$𝕆$的一个对合，满足$(xy{)}^{*}=y^{*}{x}^{*}$（注意次序的变化）。

x的实数部分定义为$\mathrm{R}\mathrm{e}\left(x\right)=\frac{x+x^{*}}{2}=x_0$，虚数部分定义为$\mathrm{I}\mathrm{m}\left(x\right)=\frac{x-x^{*}}{2}$。所有纯虚的八元数生成了$𝕆$的一个七维子空间，记为Template:Math。Template:Rp

八元数x的範数可用與自身共軛的積$\Vert x{\Vert }^2=x^{*}x$來定義：

$\Vert x\Vert =\sqrt{x^{*}x}$

在这里，平方根是定义良好的，因为$x^{*}x=x{x}^{*}$总是非负实数：

$\Vert x{\Vert }^2=x^{*}x=x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2$

这个範数与${ℝ}^8$上的标准欧几里得範数是一致的。

$𝕆$上範数的存在，意味着$𝕆$的所有非零元素都存在逆元素。Template:Math的逆元素为：Template:Rp

$x^{-1}=\frac{x^{*}}{\Vert x{\Vert }^2}$

它满足$x{x}^{-1}=x^{-1}x=1$。

性质

八元数的乘法既不是交换的：Template:Rp

$ij=-ji\ne ji$

也不是结合的：Template:Rp

$(ij)l=-i(jl)\ne i(jl)$

然而，八元数确实满足结合性的一个较弱形式──交错性Template:Rp。这就是说，由任何两个元素所生成的Template:Link-en是结合的。Template:Rp实际上，我们可以证明，由$𝕆$的任何两个元素所生成的子代数都与$ℝ$、$ℂ$或$ℍ$同构，它们都是结合的。由于八元数不满足结合性，因此它们没有矩阵的表示法，与四元数不一样。

八元数确实保留了$ℝ$、$ℂ$和$ℍ$共同拥有的一个重要的性质：$𝕆$上的範数满足

$\Vert xy\Vert =\Vert x\Vert \Vert y\Vert$

这意味着八元数形成了一个非结合的赋範可除代数。所有由凯莱-迪克松构造所定义的更高维代数都不满足这个性质，因為它们都存在零因子。

这样，实数域上唯一的赋範可除代数是$ℝ$、$ℂ$、$ℍ$和$𝕆$。这四个代数也形成了实数域上唯一的交错的、有限维的Template:Link-en。Template:Rp

由于八元数不是结合的，因此$𝕆$的非零元素不形成一个群。然而，它们形成一个拟群。

自同构

八元数的自同构A，是$𝕆$的可逆线性变换，满足：

$A(xy)=A(x)A(y).$

$𝕆$的所有自同构的集合组成了一个群，称为Template:Math。群Template:Math是一个单连通、紧致、14维的实李群。这个群是Template:Link-en中最小的一个。

参见

• 双曲复数
• 四元数
• 十六元数
• Template:Link-en
• [[PSL(2,7)|Template:Math]]──法诺平面的自同构群。

延伸閱讀

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