倒數伽瑪函數

Γ函數的倒數的函數圖形

倒數伽瑪函數 Template:Math 的色相環複變函數圖形

在數學中，倒數伽瑪函數（英語：Reciprocal gamma function）是指伽瑪函數的倒數：

$f(z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}$

其中，Template:Math代表伽瑪函數。由於伽瑪函數在整個複數平面上皆非零且為亚纯函数，因此其倒數是一個整函数。

倒數伽瑪函數是一個1階整函數，其表示了Template:Math的成長速度不會高過Template:Math。雖為1階整函數但屬無窮型，也就是說Template:Math的增長速度比任何Template:Math的倍數都快，因為它的增長與左手平面上的Template:Math大致成比例。

由於倒數伽瑪函數不像伽瑪函數快速成長，在程式計算上較伽瑪函數容易，例如其泰勒級數，因此部分軟體使用倒數伽瑪函數作為計算伽瑪函數的起點，一些軟體除了計算伽瑪函數外，會額外提供倒數伽瑪函數。

魏爾斯特拉斯將倒數伽瑪函數稱為「factorielle」表示階乘的倒數，並用於魏尔施特拉斯分解定理的發展。

無窮乘積展開

根據萊昂哈德·歐拉以及卡尔·魏尔斯特拉斯給出的伽瑪函數無窮乘積定義，可以推得倒數伽瑪函數即伽瑪函數之倒數的無窮乘積：

$\begin{array}{cc}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}& =z\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1+\frac{z}{n}}{{(1+\frac{1}{n})}^z}\\ \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}& =z{e}^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{z}{n})e^{-\frac{z}{n}}\end{array}$

其中$\gamma \approx 0.577216...$是歐拉-馬斯刻若尼常數。這個乘積展開式對所有複數z都有效。

泰勒級數

倒數伽瑪函數從零展開的泰勒級數為：

$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}=z+\gamma z^2+(\frac{{\gamma }^2}{2}-\frac{{\pi }^2}{12})z^3+\cdots$

其中Template:Math是歐拉-馬斯刻若尼常數。對Template:Math的情形，其Template:Math的系數Template:Math可由遞迴定義求出：

$a_n=\frac{a_2{a}_{n-1}-\sum _{j=2}^{n-1}(-1{)}^j\zeta (j)a_{n-j}}{n-1}$

其中Template:Math代表黎曼ζ函數。2014年，Fekih-Ahmed發現這些係數可以用積分表示：

$a_n=\frac{(-1{)}^n}{\pi n!}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}\mathrm{\Im }[(\log (t)-i\pi {)}^n]dt.$

其前幾項的值為：

Template:Math	Template:Math
1	+1.0000000000000000000000000000000000000000
2	+0.5772156649015328606065120900824024310422
3	−0.6558780715202538810770195151453904812798
4	−0.0420026350340952355290039348754298187114
5	+0.1665386113822914895017007951021052357178
6	−0.0421977345555443367482083012891873913017
7	−0.0096219715278769735621149216723481989754
8	+0.0072189432466630995423950103404465727099
9	−0.0011651675918590651121139710840183886668
10	−0.0002152416741149509728157299630536478065
11	+0.0001280502823881161861531986263281643234
12	−0.0000201348547807882386556893914210218184
13	−0.0000012504934821426706573453594738330922
14	+0.0000011330272319816958823741296203307449
15	−0.0000002056338416977607103450154130020573
16	+0.0000000061160951044814158178624986828553
17	+0.0000000050020076444692229300556650480600
18	−0.0000000011812745704870201445881265654365
19	+0.0000000001043426711691100510491540332312
20	+0.0000000000077822634399050712540499373114
21	−0.0000000000036968056186422057081878158781
22	+0.0000000000005100370287454475979015481323
23	−0.0000000000000205832605356650678322242954
24	−0.0000000000000053481225394230179823700173
25	+0.0000000000000012267786282382607901588938
26	−0.0000000000000001181259301697458769513765
27	+0.0000000000000000011866922547516003325798
28	+0.0000000000000000014123806553180317815558
29	−0.0000000000000000002298745684435370206592
30	+0.0000000000000000000171440632192733743338

而Template:Math的近似值為：

$a_n\approx (-1{)}^n\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{\sqrt{n}}{n!}\mathrm{\Im }\left(e^{-n{z}_0}\frac{z_0^{1/2-n}}{\sqrt{1+z_0}}\right),$

其中，$z_0=\frac{e^{W_{-1}(-n)}}{-n}$

而$W_{-1}$是分支為負一的朗伯W函数。

漸近展開

當Template:Math在Template:Math為一固定值的情形下趨於無窮，則有：

$\ln (1/\mathrm{\Gamma }(z))\sim -z\ln (z)+z+\frac{1}{2}\ln \left(\frac{z}{2\pi }\right)-\frac{1}{12z}+\frac{1}{360z^3}-\frac{1}{1260z^5}\text{for}|\arg (z)|<\pi$

以圍線積分表示

倒數伽瑪函數可使用Template:Link-en（contour integration）表示，此表示法由赫爾曼·漢克爾所提出，其為：

$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}=\frac{i}{2\pi }{\oint }_H(-t{)}^{-z}{e}^{-t}dt,$

其中，Template:Math為Template:Link-en。

階乘倒數

階乘倒數是指階乘的倒數。其等於所有小於及等於該數的正整數之倒數的積：

$\prod _{k=1}^n\frac{1}{k}=\frac{1}{n!}\mathrm{\forall }n\ge 1$

其無窮級數收斂在[[E_(数学常数)|Template:Math]]：

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\prod _{k=1}^n\frac{1}{k}=e$

由於階乘可以用伽瑪函數來定義，因此階乘倒數也可以表示為：

$\frac{1}{n!}=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z+1)}$.

對於$n\ge 1$的正整數，其階乘倒數可以用一個積分表示 ：

$\frac{1}{n!}=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{e}^{-nı\vartheta }{e}^{e^{ı\vartheta }}d\vartheta$.

同理，倒數伽瑪函數也可以用類似的方法表示。對所有的實數$c>0$ 且 $z\in ℂ$，我們可以寫出倒數伽瑪函數沿著實軸的積分表示式：

$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(c+ıt{)}^{-z}{e}^{c+ıt}dt,$

其中在$z:=n+1/2$的特定情況下，則可獲得雙階乘的倒數與倒數伽瑪函數之關係：

$\frac{1}{(2n-1)!!}=\frac{\sqrt{\pi }}{2^n\cdot \mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{2})}$

積分

將倒數伽瑪函數在實軸上從零積到無窮的瑕積分為：

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(x)}dx\approx 2.80777024,$Template:OEIS

這個值又稱為Template:Link-en。

參見

• 伽瑪函數
• 反伽瑪函數

參考文獻

1. Thomas Schmelzer & Lloyd N. Trefethen, Computing the Gamma function using contour integrals and rational approximations
2. Mette Lund, An integral for the reciprocal Gamma function Template:Wayback
3. Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
4. Eric W. Weisstein, Gamma FunctionTemplate:Wayback, MathWorld