朗伯W函数

$W_0(x)$的图像，$-\frac{1}{e}\le x\le 4$

朗伯W函数（Template:Lang-en，又称为欧米加函数或乘积对数），是$f(w)=w{e}^w$的反函数，其中$e^w$是指数函数，$w$是任意复数。对于任何复数$z$，都有：

$z=W(z)e^{W(z)}.$

由于函数$f$不是单射，因此函数$W$是多值的（除了0以外）。如果我们把$x$限制为实数，并要求$w$是实数，那么函数仅对于$x\ge \frac{1}{e}$有定义，在$(-\frac{1}{e},0)$内是多值的；如果加上$w\ge -1$的限制，则定义了一个单值函数$W_0(x)$（见图）。我们有$W_0(0)=0$，$W_0(-\frac{1}{e})=-1$。而在$[-\frac{1}{e},0)$内的$w\le -1$分支，则记为$W_{-1}(x)$，从$W_{-1}(-\frac{1}{e})=-1$递减为$W_{-1}(0^{-})=-\mathrm{\infty }$。

朗伯$W$函数不能用初等函数来表示。它在组合数学中有许多用途，例如树的计算。它可以用来解许多含有指数的方程，也出现在某些微分方程的解中，例如$y(t)=ay(t-1)$。

复平面上的朗伯W函数的函數圖形

微分和积分

朗伯 $W$函数的积分形式为

$W(x)=\frac{x}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{{(1-v\cot v)}^2+v^2}{x+v\csc v\cdot e^{-v\cot v}}\mathrm{d}v,|\arg \left(x\right)|<\pi$

$W(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{-\frac{1}{e}}{\int }}-\frac{1}{\pi }\mathrm{\Im }[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}W(x)]\ln (1-\frac{z}{x})\mathrm{d}x$

若 $x\in ̸[-\frac{1}{e},0],k\in \mathbb{Z}$ ,若 $x\in (-\frac{1}{e},0),k=1,\pm 2,\pm 3,...$

$W_k(x)=1+(\ln x-1+2k\pi \mathrm{i})e^{\frac{\mathrm{i}}{2\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\ln \frac{t-\ln t+\ln x+(2k+1)\pi \mathrm{i}}{t-\ln t+\ln x+(2k-1)\pi \mathrm{i}}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{t+1}}=1+(\ln x-1+2k\pi \mathrm{i})e^{\frac{\mathrm{i}}{2\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\ln \frac{{(t-\ln t+\ln x)}^2+(4k^2-1){\pi }^2+2\pi (t-\ln t+\ln x)\mathrm{i}}{{(t-\ln t+\ln x)}^2+{(2k-1)}^2{\pi }^2}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{t+1}}$

把被积函数的实部和虚部分离出来：

$W_k(x)=1+(\ln x-1+2k\pi \mathrm{i})e^{\frac{\mathrm{i}}{2\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\frac{1}{2}\ln \frac{{(t-\ln t+\ln x)}^2+{(2k+1)}^2{\pi }^2}{{(t-\ln t+\ln x)}^2+{(2k-1)}^2{\pi }^2}+\mathrm{i}\arctan \frac{2\pi (t-\ln t+\ln x)}{{(t-\ln t+\ln x)}^2+(4k^2-1){\pi }^2}]\cdot \frac{\mathrm{d}t}{t+1}}$

${}_{W_k(x)=1+\frac{(\ln x-1)\cos \frac{1}{4\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\ln \frac{{(t-\ln t+\ln x)}^2+{(2k+1)}^2{\pi }^2}{{(t-\ln t+\ln x)}^2+{(2k-1)}^2{\pi }^2}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{t+1}-2k\pi \sin \frac{1}{4\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\ln \frac{{(t-\ln t+\ln x)}^2+{(2k+1)}^2{\pi }^2}{{(t-\ln t+\ln x)}^2+{(2k-1)}^2{\pi }^2}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{t+1}+\mathrm{i}[(\ln x-1)\sin \frac{1}{4\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\ln \frac{{(t-\ln t+\ln x)}^2+{(2k+1)}^2{\pi }^2}{{(t-\ln t+\ln x)}^2+{(2k-1)}^2{\pi }^2}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{t+1}+2k\pi \cos \frac{1}{4\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\ln \frac{{(t-\ln t+\ln x)}^2+{(2k+1)}^2{\pi }^2}{{(t-\ln t+\ln x)}^2+{(2k-1)}^2{\pi }^2}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{t+1}]}{e^{\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\arctan \frac{2\pi (t-\ln t+\ln x)}{{(t-\ln t+\ln x)}^2+(4k^2-1){\pi }^2}\cdot \frac{\mathrm{d}\mathrm{t}}{t+1}}}}$

设 $W_k(x)=u+v\mathrm{i},x=t+s\mathrm{i}$ ，则有 $(u+v\mathrm{i})e^{u+v\mathrm{i}}=t+s\mathrm{i}$ ，展开分离出实部和虚部，

$e^u(u\cos v-v\sin v)=t,e^u(u\sin v+v\cos v)=s$,当$s=0$时，易知 $u=-v\cot v$

${}_{W_k(x)=\frac{(1-\ln x)\sin \frac{1}{4\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\ln \frac{{(t-\ln t+\ln x)}^2+{(2k+1)}^2{\pi }^2}{{(t-\ln t+\ln x)}^2+{(2k-1)}^2{\pi }^2}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{t+1}-2k\pi \cos \frac{1}{4\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\ln \frac{{(t-\ln t+\ln x)}^2+{(2k+1)}^2{\pi }^2}{{(t-\ln t+\ln x)}^2+{(2k-1)}^2{\pi }^2}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{t+1}}{e^{\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\arctan \frac{2\pi (t-\ln t+\ln x)}{{(t-\ln t+\ln x)}^2+(4k^2-1){\pi }^2}\cdot \frac{\mathrm{d}\mathrm{t}}{t+1}}}\cot \frac{(\ln x-1)\sin \frac{1}{4\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\ln \frac{{(t-\ln t+\ln x)}^2+{(2k+1)}^2{\pi }^2}{{(t-\ln t+\ln x)}^2+{(2k-1)}^2{\pi }^2}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{t+1}+2k\pi \cos \frac{1}{4\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\ln \frac{{(t-\ln t+\ln x)}^2+{(2k+1)}^2{\pi }^2}{{(t-\ln t+\ln x)}^2+{(2k-1)}^2{\pi }^2}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{t+1}}{e^{\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\arctan \frac{2\pi (t-\ln t+\ln x)}{{(t-\ln t+\ln x)}^2+(4k^2-1){\pi }^2}\cdot \frac{\mathrm{d}\mathrm{t}}{t+1}}}+\frac{(\ln x-1)\sin \frac{1}{4\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\ln \frac{{(t-\ln t+\ln x)}^2+{(2k+1)}^2{\pi }^2}{{(t-\ln t+\ln x)}^2+{(2k-1)}^2{\pi }^2}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{t+1}+2k\pi \cos \frac{1}{4\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\ln \frac{{(t-\ln t+\ln x)}^2+{(2k+1)}^2{\pi }^2}{{(t-\ln t+\ln x)}^2+{(2k-1)}^2{\pi }^2}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{t+1}}{e^{\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\arctan \frac{2\pi (t-\ln t+\ln x)}{{(t-\ln t+\ln x)}^2+(4k^2-1){\pi }^2}\cdot \frac{\mathrm{d}\mathrm{t}}{t+1}}}\mathrm{i},}$

$W_0(x)=1+(\ln x-1)e^{-\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\arg (t-\ln t+\ln x+\pi \mathrm{i})\cdot \frac{\mathrm{d}\mathrm{t}}{t+1}},x>0$

若 $x>\frac{1}{e}$ ，上式还可化为$W_0(x)=1+(\ln x-1)e^{-\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\arctan \frac{\pi }{t-\ln t+\ln x}\cdot \frac{\mathrm{d}\mathrm{t}}{t+1}}$

由隐函数的求导法则，朗伯$W$函数满足以下的微分方程：

$z[1+W(z)]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}W(z)=W(z)$，$z\ne -\frac{1}{e},$

因此：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}W(z)=\frac{W(z)}{z[1+W(z)]}$，$z\ne -\frac{1}{e}.$

函数$W(x)$，以及许多含有$W(x)$的表达式，都可以用$w=W(x)$的变量代换来积分，也就是说$x=w{e}^w$

$\int W(x)\mathrm{d}x=x[W(x)+\frac{1}{W(x)}-1]+C$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}W(x)\mathrm{d}x=\mathrm{\Omega }+\frac{1}{\mathrm{\Omega }}-2\approx 0.330366$

其中$\mathrm{\Omega }$為欧米加常数。

性质

$1$、$z^{z^{z^{z^{z^{{.}^{{.}^{.}}}}}}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(z\upuparrows n)=-\frac{W(-\ln z)}{\ln z}$，

其中$\upuparrows$是高德納箭號表示法。

$2$、若$z>0$，则$\ln W(z)=\ln z-W(z)$

泰勒级数

$W_0$在$x=0$的泰勒级数如下：

$W_0(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-n{)}^{n-1}}{n!}{x}^n=x-x^2+\frac{3}{2}{x}^3-\frac{8}{3}{x}^4+\frac{125}{24}{x}^5-\cdots$

收敛半径为 $\frac{1}{e}$ 。

加法定理

$W(x)+W(y)=W[\frac{xy}{W(x)}+\frac{xy}{W(y)}]$

$x>0,y>0$

複數值

實部

$\mathrm{\Re }[W(x+y\mathrm{i})]=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-k{)}^{k-1}}{k!}\sqrt{(x^2+y^2{)}^k}\cos (k\arctan \frac{x}{y})$ , $x^2+y^2<\frac{1}{e^2}$

虛部

$\mathrm{\Im }[W(x+y\mathrm{i})]=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-k{)}^{k-1}}{k!}\sqrt{(x^2+y^2{)}^k}\sin (k\arctan \frac{x}{y})$, $x^2+y^2<\frac{1}{e^2}$

模長

$|W(x+y\mathrm{i})|=W(\sqrt{x+y})$

模角

$\arg [W(x+y\mathrm{i})]=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-k{)}^{k-1}}{k!}\arctan [\cot (k\arctan \frac{x}{y})]$, $x^2+y^2<\frac{1}{e^2}$

共軛值

$\overline{W(x+y\mathrm{i})}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-k{)}^{k-1}}{k!}\sqrt{(x^2+y^2{)}^k}[\cos (k\arctan \frac{x}{y})-\mathrm{i}\sin (k\arctan \frac{x}{y})]$, $x^2+y^2<\frac{1}{e^2}$

特殊值

$W(-\frac{\pi }{2})=\frac{\pi }{2}i$

$W(-\frac{\ln 2}{2})=-\ln 2$

$W(-\frac{1}{e})=-1$

$W\left(1\right)=\mathrm{\Omega }=\frac{1}{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{(e^x-x{)}^2+{\pi }^2}}-1\approx 0.56714329\dots$（欧米加常数）

$W(e)=1$

$W(e^{e+1})=e$

$W\left(\frac{1}{e^{1-\frac{1}{e}}}\right)=\frac{1}{e}$

$W(\pi e^{\pi })=\pi$

$W(k\ln k)=\ln k$ $(k>0)$

$W(\mathrm{i}\pi )=-\mathrm{i}\pi$

$W(-\mathrm{i}\pi )=\mathrm{i}\pi$

$W(\mathrm{i}\cos 1-\sin 1)=\mathrm{i}$

$W(-\frac{3}{2}\pi )=-\frac{3}{2}\pi \mathrm{i}$

$W(-\frac{\sqrt[7]{8}}{7}\ln 2)=-\frac{32}{7}\ln 2$

$W(-\frac{\sqrt{3}}{54}\ln 3)=-\frac{9}{2}\ln 3$

$W(-\frac{\ln 2}{4})=-4\ln 2$

$W(-1)=\frac{e^{\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{t+1}\arctan \frac{2\pi }{t-\ln t}\mathrm{d}t}-\cos [\frac{1}{4\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{t+1}\ln \frac{{(t-\ln t)}^2}{4{\pi }^2+{(t-\ln t)}^2}\mathrm{d}t]+\pi \sin [\frac{1}{4\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{t+1}\ln \frac{{(t-\ln t)}^2}{4{\pi }^2+{(t-\ln t)}^2}\mathrm{d}t]-\mathrm{i}\{\pi \cos [\frac{1}{4\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{t+1}\ln \frac{{(t-\ln t)}^2}{4{\pi }^2+{(t-\ln t)}^2}\mathrm{d}t]+\sin [\frac{1}{4\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{t+1}\ln \frac{{(t-\ln t)}^2}{4{\pi }^2+{(t-\ln t)}^2}\mathrm{d}t]\}}{e^{\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{t+1}\arctan \frac{2\pi }{t-\ln t}\mathrm{d}t}}\approx -0.31813-1.33723\mathrm{i}$

$W(-\frac{\ln k}{k})=-\ln k$

$W[-\frac{\ln (x+1)}{x(x+1{)}^{\frac{1}{x}}}]=-\frac{x+1}{x}\ln (x+1)>,-1<x<0$

应用

许多含有指数的方程都可以用$W$函数来解出。一般的方法是把未知数都移到方程的一侧，并设法化为$Y=X{e}^X$的形式。

例子

例子1

$2^t=5t$

$\Rightarrow 1=\frac{5t}{2^t}$

$\Rightarrow 1=5t{e}^{-t\ln 2}$

$\Rightarrow \frac{1}{5}=t{e}^{-t\ln 2}$

$\Rightarrow -\frac{\ln 2}{5}=(-t\ln 2)e^{-t\ln 2}$

$\Rightarrow -t\ln 2=W_k(-\frac{\ln 2}{5})$

$\Rightarrow t=-\frac{W_k(-\frac{\ln 2}{5})}{\ln 2}$

更一般地，以下的方程

$Q^{ax+b}=cx+d$

其中

$Q>0\wedge Q\ne 1\wedge c\ne 0$

两边同乘: $\frac{a}{c}$，

得到：$\frac{a}{c}{Q}^{ax+b}=ax+\frac{ad}{c}$

同除以：$Q^{ax}$，

得到：$\frac{a}{c}{Q}^b=(ax+\frac{ad}{c})Q^{-ax}$

同除：$Q^{\frac{ad}{c}}$，

$\frac{a}{c}{Q}^{b-\frac{ad}{c}}=(ax+\frac{ad}{c})Q^{-(ax+\frac{ad}{c})}$

可以用变量代换

令$t=ax+\frac{ad}{c}$

化为

$t{Q}^{-t}=\frac{a}{c}{Q}^{b-\frac{ad}{c}}$

即：$t{\left(e^{\ln Q}\right)}^{-t}=\frac{a}{c}{Q}^{b-\frac{ad}{c}}$

同乘：$\ln Q$

得出

$t\ln Q\cdot e^{-t\ln Q}=\ln Q\cdot \frac{a}{c}{Q}^{b-\frac{ad}{c}}$

故$t\ln Q=-W_k(-\frac{a\ln Q}{c}{Q}^{b-\frac{ad}{c}})$

带入$t=ax+\frac{ad}{c}$

为

$(ax+\frac{ad}{c})\ln Q=-W_k(-\frac{a\ln Q}{c}{Q}^{b-\frac{ad}{c}})$

因此最终的解为

$x=-\frac{W_k(-\frac{a\ln Q}{c}{Q}^{b-\frac{ad}{c}})}{a\ln Q}-\frac{d}{c}$

若辅助方程：$x{e}^x=-\frac{a\ln Q}{c}{Q}^{b-\frac{ad}{c}}$中，

$-\frac{a\ln Q}{c}{Q}^{b-\frac{ad}{c}}\in (-\mathrm{\infty },-\frac{1}{e})$,

辅助方程无实数解，原方程亦无实解；

若：$-\frac{a\ln Q}{c}{Q}^{b-\frac{ad}{c}}\in \{-\frac{1}{e}\}\cup \mathbf{[}0,+\mathrm{\infty })$,

辅助方程有一实数解，原方程有一实解：

$x=-\frac{W_k(-\frac{a\ln Q}{c}{Q}^{b-\frac{ad}{c}})}{a\ln Q}-\frac{d}{c}$

若: $-\frac{a\ln Q}{c}{Q}^{b-\frac{ad}{c}}\in (-\frac{1}{e},0)$,

辅助方程有二实解，设为$W(-\frac{a\ln Q}{c}{Q}^{b-\frac{ad}{c}})$，

${\mathrm{W}}_{-1}(-\frac{a\ln Q}{c}{Q}^{b-\frac{ad}{c}})$，

为

$x_1=-\frac{W(-\frac{a\ln Q}{c}{Q}^{b-\frac{ad}{c}})}{a\ln Q}-\frac{d}{c}$

$x_2=-\frac{{\mathrm{W}}_{-1}(-\frac{a\ln Q}{c}{Q}^{b-\frac{ad}{c}})}{a\ln Q}-\frac{d}{c}$

例子2

用类似的方法，可知以下方程的解

$x^x=\mathrm{t},$

为

$x=\frac{\ln \mathrm{t}}{W(\ln \mathrm{t})}$

或

$x=\exp \left(W_k[\ln (\mathrm{t})]\right).$

例子3

以下方程的解

$x{\log }_{b}x=a$

具有形式

$x=\frac{a\ln b}{W_k\left(a\ln b\right)}$

例子4

$x^a-b^x=0$

$a>0$ : $b>0$ : $x>0$

取对数，

$a\ln x=x\ln b$

$\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln b}{a}$

$e^{\frac{\ln x}{x}}=e^{\frac{\ln b}{a}}$

$x^{\frac{1}{x}}=b^{\frac{1}{a}}$

取倒数，

${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\frac{1}{x}}=b^{-\frac{1}{a}}$

$\frac{1}{x}=-\frac{\ln b}{aW(-\frac{1}{a}\ln b)}$

最终解为 : $x=-\frac{a}{\ln b}{W}_k(-\frac{\ln b}{a})$

例子5

$(ax+b{)}^n=u^{cx+d}$

两边开$n$次方并除以$a$得

$x+\frac{b}{a}=\frac{u^{\frac{c}{n}x+\frac{d}{n}}}{a}(\cos \frac{2k\pi }{n}+\mathrm{i}\sin \frac{2k\pi }{n})$

令$u=e^{\ln u}$ ，

化为

$x+\frac{b}{a}=\frac{e^{\frac{c\ln u}{n}x+\frac{d\ln u}{n}}}{a}(\cos \frac{2k\pi }{n}+\mathrm{i}\sin \frac{2k\pi }{n})$

两边同乘

$-\frac{c\ln u}{n}{u}^{-\frac{c}{n}x-\frac{cb}{na}}$ ，

$(-\frac{c\ln u}{n}x-\frac{cb\ln u}{na})e^{-\frac{c\ln u}{n}x-\frac{cb\ln u}{na}}=-\frac{c\ln u}{na}{u}^{\frac{d}{n}-\frac{cb}{na}}(\cos \frac{2k\pi }{n}+\mathrm{i}\sin \frac{2k\pi }{n})$

最终得

$x_k=-\frac{n}{c\ln u}{W}_k[-\frac{c\ln u}{na}{u}^{\frac{d}{n}-\frac{cb}{na}}(\cos \frac{2k\pi }{n}+\mathrm{i}\sin \frac{2k\pi }{n})]-\frac{b}{a}$

$k\in \mathbb{Z}$

一般化

標準的 Lambert W 函數可用來表示以下超越代數方程式的解：

$e^{-cx}=a_o(x-r)(1)$

其中 a₀, c 與 r 為實常數。

其解為$x=r+\frac{W\left(\frac{c{e}^{-cr}}{a_o}\right)}{c}$

Lambert W 函數之一般化 包括:

• 一項在低維空間內廣義相對論與量子力學的應用（量子引力），實際上一種以前未知的 連結 於此二區域中，如 “Journal of Classical and Quantum Gravity” 所示其 (1) 的右邊式現為二維多項式 x：

$e^{-cx}=a_o(x-r_1)(x-r_2)(2)$

其中 r₁ 和 r₂ 是不同實常數，為二維多項式的根。於此函數解有單一引數 x 但 r_i 和 a_o 為函數的參數。如此一來，此一般式類似於 “hypergeometric”（超几何分布）函數與 “Meijer G“，但屬於不同類函數。當 r₁ = r₂，(2)的兩方可分解為 (1) 因此其解簡化為標準 W 函數。(2)式代表著 “dilaton”（軸子）場的方程，可據此推導線性，雙體重力問題 1+1 維（一空間維與一時間維）當兩不等（靜止）質量，以及，量子力學的特徵能Delta位勢阱給不等電位於一維空間。

• 量子力學的一特例特徵能的分析解三體問題，亦即（三維）氢分子離子。於此 (1)（或 (2)）的右手邊現為無限級數多項式之比於 x：

$e^{-cx}=a_o\frac{\prod _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(x-r_i)}{\prod _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(x-s_i)}(3)$

其中 r_i 與 s_i 是相異實常數而 x 是特徵能和內核距離R之函數。式 (3) 與其特例表示於 (1) 和 (2) 是與一更大類型延遲微分方程。由于哈代的“虚假导数”概念，多根的特殊情况得以解决。

Lambert "W" 函數於基礎物理問題之應用並未完全即使標準情況如 (1) 最近在原子，分子，與光學物理領域可見 以及黎曼假设的 Keiper-Li 准则

图象

• 朗伯W函数在复平面上的图像
• 
  z = Re(W₀(x + i y))
• 
  z = Im(W₀(x + i y))
• 
• 

计算

W函数可以用以下的递推关系算出：

$w_{j+1}=w_j-\frac{w_j{e}^{w_j}-z}{e^{w_j}(w_j+1)-\frac{(w_j+2)(w_j{e}^{w_j}-z)}{2w_j+2}}$

外部链接

• MathWorld Template:Wayback