反伽瑪函數

Template:Multiple image 反伽瑪函數${\mathrm{\Gamma }}^{-1}(x)$（反Γ函數，Inverse gamma function）是伽瑪函數（Γ函數）的反函數。 換句話說，如果反Γ函數以${\mathrm{\Gamma }}^{-1}(x)=y$的形式表示，則其滿足$\mathrm{\Gamma }(y)=x$。 例如24的反伽瑪函數值為5，${\mathrm{\Gamma }}^{-1}(24)=5$，因為5代到伽瑪函數為24。 一般而言，反伽瑪函數是指定義域在實數區間$[\beta ,+\mathrm{\infty })$上且圖形在實數區間$[\alpha ,+\mathrm{\infty })$上的主分支，其中$\beta =0.8856031\dots$是伽瑪函數在正實軸上的最小值、$\alpha ={\mathrm{\Gamma }}^{-1}(\beta )=1.4616321\dots$是能使$\mathrm{\Gamma }(x)$最小的$x$值。 反伽瑪函數可以透過伽瑪函數和階乘的關係來定義反階乘，即階乘的反函數。

限制在$[\alpha ,+\mathrm{\infty })$區間的反伽瑪函數稱為伽瑪函數的主逆函數（principal inverse function），可以表示為${\mathrm{\Gamma }}^{-1}(x)$。 在不同分支上的伽瑪函數也可以定義出反伽瑪函數，在第n個分支上的反伽瑪函數可以表示為${\mathrm{\Gamma }}_n^{-1}(z)$。

直接將伽瑪函數取反函數將成為多值函數，因此通常會將反伽瑪函數限制在特定區間上的反函數

定義

由於反伽瑪函數是伽瑪函數的反函數，因此最簡單的情況下可以表示為：

$\mathrm{\Gamma }({\mathrm{\Gamma }}^{-1}(x))=x$

更進一步的，反伽瑪函數可以用如下積分表達式來定義：

${\mathrm{\Gamma }}^{-1}(x)=a+bx+\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }}(\frac{1}{x-t}-\frac{t}{t^2-1})d\mu (t)$

其中$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{\int }}\left(\frac{1}{t^2+1}\right)d\mu (t)<\mathrm{\infty }$、a和b為滿足$b\geqq 0$的實數、$\mu (t)$為博雷尔测度。

近似值

不同分支的反伽瑪函數

反伽瑪函數的分支可以透過先計算${\mathrm{\Gamma }}^{-1}(x)$在分支點$\alpha$附近的泰勒級數，接著截斷級數並求其反函數來得到更好的近似值。 例如，可以寫出關於反伽瑪函數的二次近似；

${\mathrm{\Gamma }}^{-1}\left(x\right)\approx \alpha +\sqrt{\frac{2(x-\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right))}{\mathrm{\Psi }(1,\alpha )\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}}.$

反伽瑪函數也有如下的渐近分析形式：

${\mathrm{\Gamma }}^{-1}(x)\sim \frac{1}{2}+\frac{\ln \left(\frac{x}{\sqrt{2\pi }}\right)}{W_0(e^{-1}\ln \left(\frac{x}{\sqrt{2\pi }}\right))}$

其中$W_0(x)$是朗伯W函数。這個公式是利用史特靈公式求逆得到的，因此也可以展開為漸近級數。

級數展開

要計算反伽瑪函數的級數展開可以先計算倒數伽瑪函數$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(x)}$在負整數極點附近的級數展開，然後再求級數的逆。

令$z=\frac{1}{x}$可以得到第$n$個分支的反伽瑪函數${\mathrm{\Gamma }}_n^{-1}(z)$，其中$n\ge 0$。

${\mathrm{\Gamma }}_n^{-1}(z)=-n+\frac{{(-1)}^n}{n!z}+\frac{{\psi }^{(0)}(n+1)}{{(n!z)}^2}+\frac{{(-1)}^n({\pi }^2+9{\psi }^{(0)}{(n+1)}^2-3{\psi }^{(1)}(n+1))}{6{(n!z)}^3}+O\left(\frac{1}{z^4}\right)$

其中，${\psi }^{(n)}(x)$是多伽玛函数。

反階乘

反階乘的複變函數圖形

反階乘是階乘的反函數，有時記為Factorial^-1或ArcFactorial，其函數值可以透過反伽瑪函數或解伽瑪函數方程來得到。 例如120的反階乘為5，因為Template:計算結果。 目前反階乘的數學表達方式學界尚無共識。

部分的反階乘

$n$	$n$的反階乘
-1	2.39393017729 + 2.66169895945$i$
0	不存在
$\frac{1}{2}$	0.28307261544 + 1.09787390370$i$
$\frac{\sqrt{\pi }}{2}$	$\frac{1}{2}$
1	1
2	2
3	2.4058699863
4	2.6640327972
5	2.8523554580
6	3
24	4

反伽瑪函數與反階乘的關係為：

${\mathrm{\Gamma }}^{-1}(n)=\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{F}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}(z)+1$

這是由於：

$z!=\mathrm{\Gamma }(z+1)$

反階乘可以定義為：

$(\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{F}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}(z))!=z$

條件是$\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{F}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}(z)$在復平面上是全純的，並且沿著實軸的一部分進行切割，從正參數階乘的最小值開始，延伸到$-\mathrm{\infty }$。

在分支點$z={\mu }_0$附近的反階乘可以展開為；

$\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{F}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}(z)={\nu }_0+\sum _{n=1}^{N-1}{d}_n\cdot (\log (z/{\mu }_0){)}^{n/2}$

由於階乘與伽瑪函數之間的關聯，反階乘也可以透過反伽瑪函數近似公式來估計：

$\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{F}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}\left(z\right)\approx -1+\alpha +\sqrt{\frac{2(x-\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right))}{\mathrm{\Psi }(1,\alpha )\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}}.$

因此，反階乘也可以寫成如下的渐近分析形式：

$\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{F}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}\left(x\right)\sim \frac{\ln \left(\frac{x}{\sqrt{2\pi }}\right)}{W_0(e^{-1}\ln \left(\frac{x}{\sqrt{2\pi }}\right))}-\frac{1}{2}$

其中$W_0(x)$是朗伯W函数。

參見

• 倒數伽瑪函數