開普勒方程

圖為五種由0到1不同離心率的開普勒方程解

開普勒方程（Template:Lang-en）把軌道力學中受到連心力影響的軌道中天體多種幾何性質聯繫起來。

這條方程最早由約翰內斯·開普勒得出，推導過程見於他在1609年出版的著作《新天文學》的第60章，而他在著作《Template:Tsl》（1621年出版）的第五卷中還提出了此方程的一個迭代解。這條方程在物理學史和數學史上都扮演着重要的角色，特別是在古典天體力學史上。

方程

開普勒方程如下：

$M=E-e\sin E$

其中Template:Math為平近點角，Template:Math為偏近點角，而Template:Math則為離心率.

偏近點角Template:Math對於計算開普勒軌道上移動點的位置相當有用。比方說，天體在座標Template:Math、Template:Math和時間Template:Math時經過近星點，那麼要找出天體在任意時間的位置的話，首先可由時間和平均運動Template:Math用方程Template:Math計算出平近點角Template:Math，然後解上述的開普勒方程得Template:Math，便能由下列方程求座標：

$\begin{array}{ccc}x& =& a(\cos E-e)\\ y& =& b\sin E\end{array}$

其中Template:Math為半長軸，而Template:Math則為半短軸。

由於正弦是超越函數，所以開普勒方程是超越方程，即是說不能用代數方法解出Template:Math。一般求Template:Math需要用到數值分析和級數。

其他形式

開普勒方程共有幾種形式。每一種形式都同一種特定軌道類型有關。標準的開普勒方程用於橢圓軌道（0 ≤Template:Mvar<1）。雙曲開普勒方程用於雙曲軌跡（Template:Mvar≫1）。徑向開普勒方程用於線性（徑向）軌跡 (Template:Mvar=1)。抛物線軌跡（Template:Mvar=1）則用Template:Tsl。

當e = 0時，軌道是圓形的。增加e會導致圓形變成橢圓。當e = 1時共有三種可能性：

• 抛物線軌跡；
• 沿着從吸引中心起始無限長射線向內或向外的軌跡；
• 或沿着由吸引中心和距其一定距離的點所形成的線段來回移動的軌跡。

把Template:Mvar從1輕微增加會形成轉角剛好低於180度的雙曲軌道。繼續增加數值會導致轉角變小，而當e趨向無限時，軌道則變成長度無限的直線。

雙曲開普勒方程

雙曲開普勒方程如下：

$M=e\sinh H-H$

其中Template:Mvar為雙曲偏近點角。 這條方程是通過把Template:Mvar重新定義為−1的平方根乘上橢圓方程的右邊而得：

$M=i(E-e\sin E)$

（其中Template:Mvar現為虛數），然後以Template:Mvar取代Template:Mvar。

徑向開普勒方程

徑向開普勒方程如下：

$t(x)={\sin }^{-1}(\sqrt{x})-\sqrt{x(1-x)}$

其中Template:Mvar與時間成正比，而Template:Mvar則與射線上與吸引中心的距離成正比。下式是通過把開普勒方程成Template:Mvar並把Template:Mvar定為1而成：

$t(x)=\frac{1}{2}[E-\sin (E)]$。

代入得

$E=2{\sin }^{-1}(\sqrt{x})$。

逆問題

可以利用已知的Template:Mvar值直接求出Template:Mvar。但用已知Template:Mvar值來求Template:Mvar卻要複雜得多。因為不存在解析解。

可以使用Template:Tsl寫出開普勒方程解的級數表達式，但所有Template:Mvar和Template:Mvar的組合都不能使級數收斂（見下文）。

文獻中對開普勒方程可解性的混淆已存在了四個世紀開普勒本人曾對找得到通解的可能性表示懷疑。

逆開普勒方程

逆開普勒方程是所有實數值$e$的開普勒方程解：

$E=\{\begin{array}{cc}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{M^{\frac{n}{3}}}{n!}\underset{\theta \to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}}{\mathrm{d}{\theta }^{n-1}}\right(\left(\frac{\theta }{\sqrt[3]{\theta -\sin (\theta )}}{)}^n\right)),& e=1\\ \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{M^n}{n!}\underset{\theta \to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}}{\mathrm{d}{\theta }^{n-1}}\right(\left(\frac{\theta }{\theta -e\sin (\theta )}{)}^n\right)),& e\ne 1\end{array}$

展開得：

$E=\{\begin{array}{cc}s+\frac{1}{60}{s}^3+\frac{1}{1400}{s}^5+\frac{1}{25200}{s}^7+\frac{43}{17248000}{s}^9+\frac{1213}{7207200000}{s}^{11}+\frac{151439}{12713500800000}{s}^{13}+\cdots |s=(6M{)}^{1/3},& e=1\\ \\ \frac{1}{1-e}M-\frac{e}{(1-e{)}^4}\frac{M^3}{3!}+\frac{(9e^2+e)}{(1-e{)}^7}\frac{M^5}{5!}-\frac{(225e^3+54e^2+e)}{(1-e{)}^{10}}\frac{M^7}{7!}+\frac{(11025e^4+4131e^3+243e^2+e)}{(1-e{)}^{13}}\frac{M^9}{9!}+\cdots ,& e\ne 1\end{array}$

以上的級數可用Wolfram Mathematica的InverseSeries運算得出。

InverseSeries[Series[M - Sin[M], {M, 0, 10}]]

InverseSeries[Series[M - e Sin[M], {M, 0, 10}]]

這些函數只是簡單的麥克勞林級數。這樣的超越函數泰勒級數寫法可被視為那些函數的定義。因此，這個解是逆開普勒方程的正式定義。然而，在Template:Mvar非零的時候，Template:Mvar並不是Template:Mvar的整函數。其導數

$dM/dE=1-e\cos E$

在Template:Mvar<1時於無限複數集合中趨向零。在$E=\pm i{\cosh }^{-1}(1/e)$有解，而在這些值時

$M=E-e\sin E=\pm i({\cosh }^{-1}(1/e)-\sqrt{1-e^2})$

（其中逆cosh取正值），而Template:Mvar在這些點則趨向無限。這意味着此麥克勞林級數的收歛半徑為${\cosh }^{-1}(1/e)-\sqrt{1-e^2}$，並且當Template:Mvar比這大時級數不會收歛。此級數還可用於雙曲情況，此時其收歛半徑為${\cos }^{-1}(1/e)-\sqrt{e^2-1}$。當Template:Mvar=1時此級數只在Template:Math時收歛。

還可以寫出用Template:Mvar冪表示的麥克勞林級數。這級數在Template:Mvar大於拉普拉斯極限（約為0.66）時不會收歛，與Template:Mvar值無關（除非Template:Mvar為Template:Mvar的倍數），但若Template:Mvar小於拉普拉斯極限時則級數在任何Template:Mvar值時都會收歛。級數的係數除了第一個之外（只是Template:Mvar而已），都與Template:Mvar成週期式關係，週期為Template:Mvar。

逆徑向開普勒方程

逆徑向開普勒方程（e = 1）可被寫成：

$x(t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left[\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{t^{\frac{2}{3}n}}{n!}\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}}{\mathrm{d}{r}^{n-1}}\left(r^n{\left(\frac{3}{2}\right({\sin }^{-1}(\sqrt{r})-\sqrt{r-r^2}\left)\right)}^{-\frac{2}{3}n}\right)\right)\right]$

展開得：

$x(t)=p-\frac{1}{5}{p}^2-\frac{3}{175}{p}^3-\frac{23}{7875}{p}^4-\frac{1894}{3931875}{p}^5-\frac{3293}{21896875}{p}^6-\frac{2418092}{62077640625}{p}^7-\cdots |p={\left(\frac{3}{2}t\right)}^{2/3}$

上述結果可用Wolfram Mathematica求得:

InverseSeries[Series[ArcSin[Sqrt[t]] - Sqrt[(1 - t) t], {t, 0, 15}]]

逆問題的數值近似

逆問題在大部份的應用中都能以數值方法求得函數的根：

$f(E)=E-e\sin (E)-M(t)$

可以經牛頓法來進行迭代：

$E_{n+1}=E_n-\frac{f(E_n)}{f^{\prime }(E_n)}=E_n-\frac{E_n-e\sin (E_n)-M(t)}{1-e\cos (E_n)}$

注意在這個計算Template:Mvar和Template:Mvar的單位是弧度角。重覆迭代直到已經達到想要的準確度（例如，當Template:Math < 所需的準確度）。對大部份的橢圓軌道而言，起始值取E₀ = M(t) 已經足夠。而對e > 0.8的軌道而言，則應取起始值Template:Math。相近的手法還可以用於開普勒方程的雙曲形式Template:Rp。而在面對抛物線軌跡的個案時則使用Template:Tsl。

定點迭代

另一種有關的解法由考慮$E=M+e\sin E$開始。重覆地將Template:Mvar的值代入右方式子就能得到簡單的求$E(e,M)$的Template:Tsl算法。此方法與開普勒1621年的解相同。

function E(e,M,n)
    E = M
    for k = 1 to n
        E = M + e*sin E
    next k
    return E

迭代次數$n$取決於$e$的數值。雙曲形式則用相近的$H=e\sinh H-M$。

這個方法與上文牛頓法解的關係如下：

$E_{n+1}=E_n-\frac{E_n-e\sin (E_n)-M(t)}{1-e\cos (E_n)}=E_n+\frac{(M+e\sin E_n-E_n)(1+e\cos E_n)}{1-e^2(\cos E_n{)}^2}$

若$M-E_n$及$e$的數值小的話，取一次項得近似：

$E_{n+1}\approx M+e\sin E_n$。

另見

• 開普勒定律
• 開普勒問題
• 廣義相對論中的開普勒問題

外部連結

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• Wolfram Mathworld的開普勒方程頁面 Template:Wayback