偏近點角

偏近點角 (Eccentricity Anomaly) 是在軌道上的天體現在的位置投影在垂直於橢圓半長軸的外接圓上，並從橢圓的中心量度和近拱點（Template:Lang）方向之間的角度。在下圖中的標示為E（角zcx）。

計算

在太空動力學，偏近點角E可以由下式計算得到：

E = \arccos \frac{1 - | 𝐫 | / a}{e}

此處：

對平近點角M，E和M的關係是：

M = E - e \cdot \sin E .

這個方程式可以重新解出，從 $E_{0} = M$ 開始，並使用 $E_{i + 1} = M + e \sin E_{i}$ 的關係。

將這個方程式的 $e$ 以級數展開，當 $e < 0.6627434$ 時，最初的幾項是：

$E_{1} = M + e \sin M$
$E_{2} = M + e \sin M + \frac{1}{2} e^{2} \sin 2 M$
$E_{3} = M + e \sin M + \frac{1}{2} e^{2} \sin 2 M + \frac{1}{8} e^{3} (3 \sin 3 M - \sin M)$ .

還有其他更有效率的解決方法，可以作為推導的參考（參見Murray and Dermott ，1999, p.35），詳細的推導過程和 $e$ 在數學上的極限值可以參考Plummer (1960, section 46)。

對真近點角T，E和T的關係是：

\cos T = \frac{\cos E - e}{1 - e \cdot \cos E}

或相等於

\tan \frac{T}{2} = \sqrt{\frac{1 + e}{1 - e}} \tan \frac{E}{2} .

半徑（位置向量大小）和近點角的關係是：

r = a (1 - e \cdot \cos E)

和

r = a \frac{(1 - e^{2})}{(1 + e \cdot \cos T)} .

Murray, C. D. & Dermott, S. F. 1999, Solar System Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge.
Plummer, H.C., 1960, An Introductory treatise on Dynamical Astronomy, Dover Publications, New York. (Reprint of the 1918 Cambridge University Press edition.)