Ext函子

在同調代數中，Ext 函子是 Hom 函子的導函子。此函子首見於代數拓撲，但其應用遍佈許多領域。

定義

設 $𝒞$ 為有充足內射元的阿貝爾範疇，例如一個環 $R$ 上的左模範疇 $R-𝐌𝐨𝐝$。固定一對象 $A$，定義函子 $T_A(-):={\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(A,-)$，此為左正合函子，故存在右導函子 $R^{\bullet }{T}_A(-)$，記為 ${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{𝒞}^{\bullet }(A,-)$。當 $𝒞=R-𝐌𝐨𝐝$ 時，常記之為 ${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_R^{\bullet }(A,-)$。

根據定義，取 $B$ 的內射分解

$J(B)⟵B⟵0$

並取 ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(A,-)$，得到

${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(A,J(B))⟵{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(A,B)⟵0$

去掉首項 ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(A,B)$，最後取上同調群，便得到 ${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{𝒞}^{\bullet }(A,B)$。

另一方面，若 $𝒞$ 中也有充足射影元（例如 $R-𝐌𝐨𝐝$），則可考慮右正合函子 $G_B(-):={\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(-,B)$ 及其左導函子 $L_{\bullet }{G}_B(-)$，可證明存在自然同構 $L_{\bullet }{G}_B(A)={\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{𝒞}^{\bullet }(A,B)$。換言之，對 $A$ 取射影分解：

$P(A)⟶A⟶0$

並取 ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(-,B)$，得到

${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(P(A),B)⟶{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(A,B)⟶0$

去掉尾項 ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(A,B)$，其同調群同構於 ${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{𝒞}^{\bullet }(A,B)$。

基本性質

• 若 $A$ 是射影對象或 $B$ 是內射對象，則對所有 $i>0$ 有 ${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{𝒞}^i(A,B)=0$。
• 反之，若 ${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{𝒞}^1(A,-)=0$，則 $A$ 是射影對象。若 ${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{𝒞}^1(-,B)=0$，則 $B$ 是內射對象。
• ${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{𝒞}^{\bullet }(\underset{i}{⨁}{A}_i,B)=\coprod _i{\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{𝒞}^{\bullet }(A_i,B)$
• ${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{𝒞}^{\bullet }(A,\prod _j{B}_j)=\prod _j{\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{𝒞}^{\bullet }(A,B_j)$
• 根據導函子性質，對每個短正合序列 $0\to B^{\prime }\to B\to B^{″}\to 0$，有長正合序列：

$\cdots \to {\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{𝒞}^{n-1}(A,B^{″})\to {\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{𝒞}^n(A,B^{\prime })\to {\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{𝒞}^n(A,B)\to {\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{𝒞}^n(A,B^{″})\to {\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{𝒞}^{n+1}(A,B^{″})\to \cdots$

• 承上，若 $𝒞$ 有充足的射影元，則對第一個變數也有長正合序列；換言之，對每個短正合序列 $0\to A^{\prime }\to A\to A^{″}\to 0$，有長正合序列

$\cdots \to {\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{𝒞}^{n-1}(A^{\prime },B)\to {\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{𝒞}^n(A^{″},B)\to {\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{𝒞}^n(A,B)\to {\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{𝒞}^n(A^{\prime },B)\to {\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{𝒞}^{n+1}(A^{″},B)\to \cdots$

譜序列

今設 $A,B$ 為含單位元的環，並固定一環同態 $A\to B$。則由雙函子的自然同構

${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_B(-,{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_A(B,-))\simeq {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_A(-,-)$

導出格羅滕迪克譜序列：對每個 $B$-模 $M$ 及 $A$-模 $N$，有譜序列

$E_2^{pq}={\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_B^p(M,{\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_A^q(B,N))\Rightarrow {\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_A^{p+q}(M,N)$

這個關係稱為換底。

Ext函子與擴張

Ext 函子得名於它與群擴張的聯繫。抽象地說，給定兩個對象 $A,B\in 𝒞$，在擴張

$0\to B\to C\to A\to 0$

的等價類與 ${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{𝒞}^1(A,B)$ 之間有一一對應，下將詳述。

對任兩個擴張

$0\to B\to C\to A\to 0$ 與

$0\to B\to C^{\prime }\to A\to 0$

可以構造其 Baer 和 為 $0\to B\to C{\times }_A{C}^{\prime }/\mathrm{\Delta }\to A\to 0$，其中 $\mathrm{\Delta }:=(1,-1)(C{\bigsqcup }_B{C}^{\prime })$（反對角線）。這在等價類上構成一個群運算，可證明此群自然地同構於 ${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{𝒞}^1(A,B)$。

對更高階的擴張，同樣可定義等價類；對任兩個 n-擴張（n>1）

$0\to B\to X_n\to \cdots \to X_1\to A\to 0$ 與

$0\to B\to X{\text{'}}_n\to \cdots \to X{\text{'}}_1\to A\to 0$

此時的 Baer 和定為

$0\to B\to Y_n\to X_{n-1}\oplus X{\text{'}}_{n-1}\to \cdots \to X_2\oplus X{\text{'}}_2\to X^{\prime }{\text{'}}_1\to A\to 0$

其中 $A:=X_1{\times }_A{X_1}^{\prime }/{\mathrm{\Delta }}_1$（反對角線 ${\mathrm{\Delta }}_1$ 之定義同上），$Y_n:=X_n{\bigsqcup }_B{X_n}^{\prime }$。這也在 n-擴張的等價類上構成一個群運算，此群自然同構於 ${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{𝒞}^n(A,B)$。藉此，能在任何阿貝爾範疇上定義 Ext 函子。

重要例子

• 設 $G$ 為群，取環 $R:=\mathbb{Z}G$，可以得到群上同調：${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{\mathbb{Z}G}^{\bullet }(\mathbb{Z},M)=H^{\bullet }(G,M)$。
• 設 $𝒞$ 為局部賦環空間 $X$ 上的 ${𝒪}_X$-模範疇，可以得到層上同調：${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{𝒞}^{\bullet }({𝒪}_X,ℱ)=H^{\bullet }(X,ℱ)$。
• 設 $𝔤$ 為李代數，取環 $R:=U(𝔤)$ 為其泛包絡代數，可以得到李代數上同調：${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_R^{\bullet }(R,M)=H^{\bullet }(𝔤,M)$。
• 設 $k$ 為域，$A$ 為 $k$-代數，取環 $R:=A\times A^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$，$A$ 帶有自然的 $R$-模結構，此時得到 Hochschild 上同調：${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_R^{\bullet }(A,M)=H{H}^{\bullet }(A,M)$。

文獻

• Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1