李代数上同调

在数学中，李代数上同调是李代数的一种上同调理论，由谢瓦莱和艾伦伯格Template:Sfn为了对紧李群的拓扑空间的上同调进行代数构造而建立。在上文提及的论文中，一个特定的被称作Template:Link-en的特殊复形，在李代数的模上定义，而其上同调则以一般形式被构造。

动机

令G为一个紧李群，则其被对应的李代数完全确定，因此由李代数来确定李群上同调应为可能的。我们使用如下的构造。注意到李群的上同调是G上的微分形式构成的复形对应的德拉姆上同调，而这个复形可以被替换为等变微分形式的复形，而后者则可以被看作带有一个合适的微分算子的李代数的外代数。这一微分算子的构造对于任何李代数都成立，因此被用于定义所有李代数的李代数上同调。更加一般化地，我们可以用类似的构造来定义模系数的李代数上同调。

定义

令$𝔤$是一个交换环R上的一个李代数，其泛包络代数为$U𝔤$；令M为$𝔤$的一个表示（或者，等效地，$U𝔤$的一个模）。将R考虑为$𝔤$的一个平凡表示，则可以构造上同调群

${\mathrm{H}}^n(𝔤;M):={\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{U𝔤}^n(R,M)$

（参见Ext函子）。等效地，我们可以将其看作下面这个左正合不变子模函子的右导出函子：

$M\mapsto M^{𝔤}:=\{m\in M\mid gm=0\text{ for all }g\in 𝔤\}.$

类似地，可以定义李代数同调群为

${\mathrm{H}}_n(𝔤;M):={\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}}_n^{U𝔤}(R,M)$

（参见Tor函子）。我们也可以将其看作下面这个右正合协不变函子的左导出函子：

$M\mapsto M_{𝔤}:=M/𝔤M.$

李代数上同调的重要基本结果包括：Template:Link-en，Template:Link-en和Template:Link-en。

低维上同调

第零上同调群，由定义，是李代数在模上作用的不变量：

$H^0(𝔤;M)=M^{𝔤}=\{m\in M\mid gm=0\text{ for all }g\in 𝔤\}.$

第一上同调群，是所有导子的空间模去内导子空间：

$H^1(𝔤;M)=Der(𝔤,M)/Ider(𝔤,M)$

其中导子指一个从李代数到M的映射d使得

$d[x,y]=xdy-ydx$

若有M内的元素a使得

$dx=xa$

则称其为内导子。

第二上同调群

$H^2(𝔤;M)$

是由M对李代数的李代数扩张的等价类的空间

$0\to M\to 𝔥\to 𝔤\to 0$

对于更高维的上同调群，似乎没有简单的诠释存在。

参见

• 理论物理学中的BRST量子化。

文献

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