群上同調

Template:NoteTA 在同調代數中，群上同調是一套研究群及其表示的代數工具。群上同調源於代數拓撲，在代數數論上也有重要應用；它是現代類域論的基本構件之一。

起源

群論中的指導思想之一，是研究群 $G$ 及其表示的關係。群 $G$ 的表示是 $G$-模的特例：一個 $G$-模是一個阿貝爾群 $M$ 配上 $G$ 在 $M$ 上的群作用 $G\to \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(M)$。等價的說法是：$M$ 是群環 $\mathbb{Z}[G]$ 上的模。通常將 $G$ 的作用寫成乘法 $m\mapsto gm$。全體 $G$-模自然地構成一個阿貝爾範疇。

對給定的 $G$-模 $M$，最重要的子群之一是其 $G$-不變子群

$M^G=\{x\in M:\mathrm{\forall }g\in Ggx=x\}.$

若 $N\subset M$ 是一個 $G$-子模（即：是 $M$ 的子群，且在 $G$ 的作用下不變），則 $M/N$ 上賦有自然的 $G$-模結構，$N^G\subset M^G$，但是未必有 $(M/N{)}^G=M^G/N^G$。第一個群上同調群 $H^1(G,N)$ 可以設想為兩者間差異的某種量度。一般而言，可以定義一族函子 $H^n(G,-)$，其間關係可以由長正合序列表示。

形式建構

以下假設 $G$ 為有限群，全體 $G$-模構成阿貝爾範疇，其間的態射 ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_G(M,N)$ 定義為滿足 $f(gx)=gf(x)$ 的群同態 $f:M\to N$。由於此範疇等價於 $\mathbb{Z}[G]$-模範疇，故有充足的內射對象。

函子 $M\to M^G$ 是從 $G$-模範疇映至阿貝爾群範疇的左正合函子。定義 $H^n(G,M)$ 為其導函子。根據導函子的一般理論，可知：

• $H^0(G,M)=M^G$
• 長正合序列：若 $0\to M^{\prime }\to M\to M^{″}\to 0$ 為 $G$-模的短正合序列，則導出相應的長正合序列

$\cdots \to H^{i-1}(G,M^{″})\to H^i(G,M^{\prime })\to H^i(G,M)\to H^i(G,M^{″})\to H^{i+1}(M^{\prime })\to H^{i+1}(M)\to \cdots$

在上述定義中，若固定一個域 $k$，並以 $k[G]$ 代替 $\mathbb{Z}[G]$，得到的上同調群依然同構。

標準分解

導出函子的定義來自內射分解，不便於具體計算。然而注意到 $M^G={\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_G(\mathbb{Z},M)$，其中 $\mathbb{Z}$ 被賦予平凡的 $G$ 作用：$gx=x$，故群上同調可以用Ext函子表達為

$H^i(G,M)={\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}^i(\mathbb{Z},M)$

另一方面，$G$-模範疇中也有充足的射影對象，若取一 $\mathbb{Z}$ 的射影分解 $0\leftarrow \mathbb{Z}\leftarrow P_{\bullet }$，則有自然的同構 ${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}^i(\mathbb{Z},M)\simeq H^i(\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(P_{\bullet },M))$。最自然的分解是標準分解

$L_i:=\sum _{(g_0,\dots ,g_i)\in G}\mathbb{Z}(g_0,\dots ,g_i)$

$g(g_0,\dots ,g_i)=(g{g}_0,\dots ,g{g}_i)$

$d(g_0,\dots ,g_i)=\sum _{j=0}^i(g_0,\dots ,{\hat{g}}_j,\dots ,g_i)$

而 $L_0\to \mathbb{Z}$ 由 $g_0\mapsto 1$ 給出。

定義 $K^i:={\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_G(L_i,M)$，其元素為形如 $f:G^{i+1}\mapsto M$ 的函數，並滿足 $f(g{g}_0,\dots ,g{g}_i)=gf(g_0,\dots ,g_i)$，稱之為齊次上鏈。根據 $G$ 在 $L_i$ 上的作用，這種 $f$ 由它在形如 $(e,g_1,g_1{g}_2,\dots ,g_1\dots ,g_i)$ 的元素上的取值確定。藉此，可將上鏈複形 $K^i$ 描述為

• $K^i$ 的元素為 $G^i\to M$ 之函數。
• $(df)(g_1,\dots ,g_{i+1})=g_{1}f(g_2,\dots ,g_{i+1})+\sum _{j=1}^i(-1{)}^{j}f(g_1,\dots ,g_j{g}_{j+1},\dots ,g_{i+1})+(-1{)}^{i+1}f(g_1,\dots ,g_i)$

其中的元素稱為非齊次上鏈。

綜上所述，得到 $H^i(K^{\bullet })=H^i(G,M)$。

例子

較常用的上同調是 $H^1$ 與 $H^2$。從標準分解可導出以下的描述：

$H^1(G,M)=\frac{\{f:G\to M|\mathrm{\forall }g,g^{\prime },f(g{g}^{\prime })=gf(g^{\prime })+f(g)\}}{\{f:G\to M:\mathrm{\exists }m\mathrm{\forall }g,f(g)=gm-m\}}$

準此要領，亦有

$H^2(G,M)=\frac{\{f:G^2\to M|gf(g^{\prime },g^{″})-f(g{g}^{\prime },g^{″})+f(g,g^{\prime }{g}^{″})-f(g,g^{\prime })=0\}}{\{f:G^2\to M:\mathrm{\exists }h:G\to M,f(g,g^{\prime })=gh(g^{\prime })-h(g{g}^{\prime })+h(g)\}}$

群同調

上述理論有一對偶版本：對於任一 $G$-模 $M$，定義 $DM$ 為形如 $gm-m$ 的元素生成之子模。考慮從 $G$-模範疇映至阿貝爾群範疇的函子

$M\to M_G:=M/DM=\mathbb{Z}{\otimes }_{\mathbb{Z}[G]}M$

這是一個右正合函子，其導出函子稱為為群同調 $H_n(G,M)$。群同調可以藉Tor函子描述為

$H_i(G,M)\simeq {\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}}_i^{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z},M)$

對於有限群，群同調與群上同調可在塔特上同調群的理論下得到一貫的描述。

非阿貝爾群上同調

將上述定義中的 $G$-模 $M$ 改成一般的群 $A$（未必交換），並帶有 $G$ 的作用 $a\mapsto g(a)$（稱之為 $G$-群）。此時仍然可以定義第零個及第一個群上同調：

$H^0(G,A):=A^G=\{a\in A|\mathrm{\forall }g\in G,g(a)=a\}$

$H^1(G,A):=\frac{\{a_s:G\to A|\mathrm{\forall }s,t\in G,a_{st}=a_{s}s(a_t)\}}{\{b_s:G\to A|\mathrm{\exists }a,b_s=a^{-1}s(a)\}}$

須留意 $H^0(G,A),H^1(G,A)$ 並不是群，而是帶有一個指定元素的集合（來自 $A$ 的單位元素），以下所謂的正合性，都應該在此意義下理解。

若 $1\to A\to B\to C\to 1$ 是 $G$-群的短正合序列，則有長正合序列

$1\to A^G\to B^G\to C^G\to H^1(G,A)\to H^1(G,B)\to H^1(G,C)$

若 $A$落在 $B$ 的中心，此序列右端可再加一項 $H^1(G,C)\to H^2(G,A)$。

性質

Res 與 Cor

若 $f:H\to G$ 為群同態，則可將任一 $G$-模透過 $f$ 視為 $H$-模，此運算導出上同調之間的映射

$H^{\bullet }(G,M)\to H^{\bullet }(H,M)$

此映射與群上同調的長正合序列相容。當 $H$ 是 $G$ 的子群而 $f$ 是包含映射，導出的映射稱為限制映射，記為 Res。

由於我們假設 $G$ 為有限群，必有 $(G:H)<\mathrm{\infty }$，此時映射

$N_{G/H}:M^H\to M^G,N_{G/H}(m):=\sum _{g\in G/H}gm$

導出一個上限制映射 $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}:H^{\bullet }(H,M)\to H^{\bullet }(G,M)$。

定理. $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\circ \mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}=(G:H)\mathrm{i}\mathrm{d}$

中心擴張

若 $M$ 是平凡的 $G$ 模（即 $\mathrm{\forall }g\in G,gm=m$），則 $H^2(G,M)$ 中的元素一一對應於 $G$ 對 $M$ 的中心擴張的等價類

$0\to M\to E\stackrel{p}{\to }G\to 1$

中心擴張意謂：$0\to M\to E\to G\to 1$ 是群擴張，而且 $M$ 落在 $E$ 的中心內。

具體描述方法是：任取一映射 $s:G\to E,p\circ s={\mathrm{i}\mathrm{d}}_G$。$s$ 不一定是群同態，但存在函數 $f:G^2\to M$ 使得 $s(g)s(g^{\prime })=f(g,g^{\prime })s(g{g}^{\prime })$。$s$ 及 $f$ 刻劃了 $E$ 的群結構。不難驗證 $f\in K^2$ 滿足 $df=0$，而 $s$ 的選取對應於 $f\mapsto f+dh,h\in K^1$，所以 $f\in H^2(G,A)$ 僅決定於唯一的一個中心擴張。反之，任一 $f\in H^2(G,A)$ 都來自於某個中心擴張，證畢。

譜序列

若 $N\subset G$ 是 $G$ 的正規子群，則有下述譜序列

$H^p(G/N,H^q(N,A))⟹H^{p+q}(G,A).$

對於射影有限群，此式依然成立。

參考文獻

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