正二十面體：修订间差异

2023年9月16日 (六) 10:55的最新版本

Template:NoteTA Template:正多面體資料表 正二十面體是一種正多面體，由20個正三角形組成。同時，它也是柏拉圖立體、三角面多面體以及康威多面體。正二十面体是所有五种凸正多面體面數最多的。

正二十面體有20個面、30個邊和12個頂點，其對偶是正十二面體。它的Template:Link-en為3.3.3.3.3或3⁵，在施萊夫利符號中可用Template:Mset來表示。

與正十二面體的关系

在平面上，正多邊形內接到圓時，邊數越多，佔圓面積的百分比就越高；而在三維空間中，這個規則卻不可推廣——當正十二面體和正二十面體內接到一個球時，前者約佔66.4909%，後者僅佔60.5461%。

正十二面體是正二十面體的對偶多面體。

外接球與內切球

若有一個邊長為a的正二十面體，則它的外接球（同時過該正二十面體所有頂點的球）的半徑為：

r_{u} = \frac{a}{2} \sqrt{φ \sqrt{5}} = \frac{a}{4} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} = a \sin \frac{2 π}{5} \approx 0.9510565163 \cdot a

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則有內切球（同時和該正二十面體所有面相切的球）的半徑為：

r_{i} = \frac{φ^{2} a}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{12} (3 + \sqrt{5}) a \approx 0.7557613141 \cdot a

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另外，若有一個球同時過該正二十面體所有邊的中點，那它的半徑為：

r_{m} = \frac{a φ}{2} = \frac{1}{4} (1 + \sqrt{5}) a = a \cos \frac{π}{5} \approx 0.80901699 \cdot a

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其中φ （也稱作τ）為黃金比例。

體積與表面積

若用A表示表面積、V表示體積，而a是正二十面體的邊長，則有：

A = 5 \sqrt{3} a^{2} \approx 8.66025404 a^{2},

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V = \frac{5}{12} (3 + \sqrt{5}) a^{3} \approx 2.18169499 a^{3} .

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後者約為正四面體的Template:Math倍，因為20面體以外接球球心為中心可以切割出20個四面體，每個四面體的體積是底面積Template:Math乘上高Template:Math再乘三分之一。

正二十面體佔其外接球體的體積填充率是：

f = V / (4 π r_{u}^{3} / 3) = \frac{20 (3 + \sqrt 5)}{(2 \sqrt 5 + 10)^{3 / 2} π} \approx 0.6054613829 .

直角坐標系

在直角坐標系中，一個邊長為二、幾何中心在原點的正二十面體的坐標分別為：^[1]

Template:Math

其中Template:Math是黃金比例（或記為Template:Math）。值得注意的是，這些頂點能共同形成五組，每組擁有三個同心、相互垂直的黃金矩形，其邊形成Template:En-link，其中，前者是因為正二十面體與黃金比例有密切的關係。如果原始的二十面體的邊長為1，那麼它的對偶——正十二面體的邊長就是Template:Math，正好是一個黃金比例。

12條邊的一個正八面體可以被細分在黃金比例，使所得到的頂點可構成一個正二十面體。這首先要使沿著八面體邊的向量連成一個有界的環，再沿著向量的方向以黃金比例作分割。

球面坐標

正二十面體是一個D_5d二面體對稱對稱的一個雙五角錐反角柱，且頂點可以定義在球面坐標系上，其中兩個頂點在球的兩極，其餘在緯度±arctan(1/2)的位置。可以發現剩餘的10頂點屬於反棱柱對稱，從一個定點，經度每36°做一次極軸與赤道鏡射，直到回到原始點。

與黃金分割的關係

若以正二十面體的中心為原點，各頂點的坐標分別為Template:Math}，在此Template:Math，即黃金分割數。因此，這些頂點能共同形成五組，每組擁有三個同心、相互垂直的黃金矩形。

正交投影

正二十面体有3种特殊的正交投影，分别正对着一个面、一条棱、一个顶点。

正交投影
正对于	面	棱	顶点
Template:En-link	A₂	A₃	H₃
图像
投影对称性	[6]	[2]	[10]
图像	面法线	棱法线	对角线

其它事实

正二十面体有43,380种不同的展开图。
若要将正二十面体的表面涂色而相邻的面的颜色不同，则至少需要3种颜色。
内接与同一球的正二十面体和正十二面体，正二十面体所占球的体积（60.54%）要小于正十二面体所占的体积（66.49%）。

通过一系列等夹角线段构造正二十面体

正二十面体 H₃考克斯特平面	Template:Link-en D₆考克斯特平面
这个操作可以以几何的观点被看作六维正轴体的12个顶点投影到三维空间。这代表着一个D₆到H₃考克斯特群的Template:Link-en：见这些二维Template:Link-en正交投影，中间投影后重合的两个顶点给出了这个图像中的第三根轴

以下构建正二十面体的方法避免了使用更基础的方法时必要的在数域解析失败 (语法错误): {\displaystyle \mathbb{Q}[[[:Template:根號]]]} 中的复杂计算。
正二十面体的存在性依赖于 $ℝ^{3}$ 中6条等夹角线的存在性。事实上，我们很容易便可以发现，这样一组等夹角线与欧几里得空间中的球心在等夹角线所共的交点的球相交，得出的交点即是一个正二十面体的12个顶点。从相反方向考虑，假设这里存在一个正二十面体，它的6对相对顶点的连线（对角线）就形成了那样一个等夹角线系统。
为了构建这样一个等夹角线系统，我们开始于一个6×6方形矩阵。

A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 & 0 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 \end{matrix}) .

通过直接的计算，我们可以得出A²=5I（在这里I是6×6单位矩阵）。这表明矩阵I的特征值是√5和-√5，并且它们的复杂性都是3，因为A是对称的，并且它的迹是0。
矩阵 $A + \sqrt{5} I$ 在商空间 $ℝ^{6} / \ker (A + \sqrt{5} I)$ 中引出了一个同构于 $ℝ^{3}$ 的欧几里得结构因为它的核 $\ker (A + \sqrt{5} I)$ 是三维的。在 $ℝ^{6}$ 中，它的六条坐标轴线 $ℝ v_{1}, \dots, ℝ v_{6}$ 在投影 $π : ℝ^{6} ⟶ ℝ^{6} / \ker (A + \sqrt{5} I)$ 下的图像形成了这样一个在 $ℝ^{3}$ 中由六条等夹角线组成的系统，它们都相交于一点，两两之间都夹着锐角 $\arccos \frac{1}{\sqrt{5}}$ 。±v₁，...，±v₆向A的√5-特征空间的正交投影形成了正二十面体的12个顶点。
正二十面体另一个直接的构造用到了交错群A₅的群表示论方法，它直接利用了正二十面体的等距同构。

半正涂色和子对称群

正二十面体作为扭棱四面体，可以通过旋转正四面体的正三角形面，并在4个顶点处插入新的三角形，在原来的6条棱处插入新的一对三角形来构造

作为正多面体之一，正二十面体拥有较高的对称性，它的所有面在几何上都是相同的，不可区分的。可是我们也可以想象将正二十面体的面“涂上”不同的“颜色”，使它其的不同面拥有不同的“几何意义”，使其拥有不同的次级对称性。正二十面体有三种不同的半正涂色方法，可以按照一个顶点引出的5个面的涂色来标记为11213、11212、11111。正二十面体可以被描述为Template:En-link 正四面体，具有手征性 Template:En-link；它亦可以被描述成交错截顶正八面体，有Template:En-link。这个具有五角十二面体对称的正二十面体也被叫做伪二十面体是五角十二面体的对偶。

名称	正二十面体	交错截角八面体	Template:En-link 正四面体	正五双锥反柱体
Template:En-link	Template:CDD	Template:CDD	Template:CDD
施莱夫利符号	{3,5}	h_0,1{3,4}	s{3,3}
Template:En-link	5 \| 3 2		\| 3 3 2
Template:En-link	I_h [5,3] (*532)	T_h [3⁺,4] (3*2)	T [3,3]⁺ (332)	D_5d [2⁺,10] (2*5)
对称群阶	60	24	12	10
半正涂色	(11111)	(11212)	(11213)	(11122)&(22222)

与其它几何图形的关系

正二十面体是正二十面体家族的一员： Template:正二十面体家族作为扭棱正四面体和交错截顶正八面体，正二十面体也是正四面体家族和正八面体家族的一员： Template:正四面体家族 Template:正八面体家族正二十面体在拓扑上与其它一系列的正三角形镶嵌{3,n}和一系列的五阶正镶嵌{n,5}相关联： Template:正三角形镶嵌 Template:五阶正镶嵌正二十面体和三个星形正多面体有着相同的顶点排布。其中与大十二面体还有相同的棱排布：

图像	大十二面体	小星形十二面体	大二十面体
Template:En-link	Template:CDD	Template:CDD	Template:CDD

虽然由于正二十面体的二面角太大（约138.189685°>120°），因此正二十面体不可能密铺三维欧几里得空间，但它可以密铺适当的双曲空间，称为Template:En-link，每条棱处有三个正二十面体相交，每个顶点处有12个正二十面体相交，因此顶点图是正十二面体，施莱夫利符号{3,5,3}，是四个三维双曲空间中的正堆砌之一。