運動常數

Template:NoteTA 在經典力學裏，對於一個動力系統，隨著時間的演進，所有保持不變的物理量都稱為運動常數（Template:Lang），又稱為守恆量。它的作用有點類似運動的約束。可是，運動常數是數學的約束，自然地從運動方程式中顯現出來，而不是物理的約束；物理的約束會有相應的約束力來維持這約束。常見的運動常數例子有能量、動量、角動量、拉普拉斯-龍格-冷次向量。

應用

運動常數的辨認對於研究物理問題是非常重要的。通過解析運動常數，可以明瞭許多物體運動的性質，而不需將運動方程式的解答完全計算出來。假若一個物體的角動量向量是恆定的，則此物體的軌跡（Template:Lang）必包含於一個平面。在有些幸運的狀況下，甚至連運動軌跡都可以簡單地導引出來；因為它們是運動常數的等值曲面之相交線。舉例而言，從潘索橢圓球（Template:Lang）可以觀察出，一個淨力矩等於零的剛體的旋轉，其角速度軌跡是一個圓球（角動量守恆）與一個橢圓球（能量守恆）的相交。用別種方法，這答案或許很不容易導引出。因此，運動常數的辨認是很重要的研究目標。

辨認運動常數的方法

辨認運動常數的方法有好幾種：

• 最簡單，但最無系統的方法是靠直覺。假設一個物理量是運動常數（或許是從分析實驗數據而得到的結論）。經過數學證明，可以論定，在物體的運動過程中，此量的值是保守的。

• 哈密頓-亞可比方程式給予一個常用與直接的方法來認明運動常數，特別是當採用正交坐標的哈密頓量，呈現出可辨認的函數形式。

• 另外一種方法應用下述事實：每一個守恆量的量值都相應於一個拉格朗日量的對稱性。諾特定理給予一個有系統的方法，從對稱性導引出守恆量。例如，拉格朗日量對於Template:Link-en的不變性，造成了能量守恆；拉格朗日量對於空間平移的不變性（平移對稱性），造成了動量守恆；拉格朗日量對於空間轉動的不變性，造成了角動量守恆。反過來說也是正確的；每一個拉格朗日量的對稱性相應於一個運動常數

• 假若一個物理量$A$，既不是顯性地含時間，又與哈密頓量的帕松括號等於零，則此物理量是保守的：

$\frac{dA}{dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+[A,H]$。

另外一個很有用的理論，帕松定理闡明：假若$A$與$B$都是運動常數，則它們的帕松括號$[A,B]$也是運動常數。

一個物理系統，假若擁有$n$個自由度，$n$個運動常數，其任何一對運動常數的帕松括號等於零，則稱此系統為完全可積分系統（Template:Lang）。稱這一集合的運動常數互相對合。

量子力學

假若，一個可觀測量$Q$與哈密頓量$H$是可交換的，而且不顯性地含時間，則此可觀測量是個運動常數。

導引

假設，一個可觀測量$Q=Q(x,p,t)$跟位置$x$、動量$p$、時間$t$有關。再假設一個波函數$\psi$遵守薛丁格方程式$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=H\psi$。求$Q$期望值對於時間$t$的導數，

$\frac{d}{dt}⟨Q⟩$	$=\frac{d}{dt}⟨\psi |Q|\psi ⟩$
	$=⟨\frac{\partial \psi }{\partial t}|Q|\psi ⟩+⟨\psi |\frac{\partial Q}{\partial t}|\psi ⟩+⟨\psi |Q|\frac{\partial \psi }{\partial t}⟩$
	$=\frac{-1}{i\hslash }⟨H\psi |Q|\psi ⟩+⟨\psi |\frac{\partial Q}{\partial t}|\psi ⟩+\frac{1}{i\hslash }⟨\psi |Q|H\psi ⟩$
	$=\frac{-1}{i\hslash }⟨\psi |HQ|\psi ⟩+⟨\psi |\frac{\partial Q}{\partial t}|\psi ⟩+\frac{1}{i\hslash }⟨\psi |QH|\psi ⟩$
	$=\frac{-1}{i\hslash }⟨\psi |[H,Q]|\psi ⟩+⟨\psi |\frac{\partial Q}{\partial t}|\psi ⟩$；

其中，$[H,Q]=HQ-QH$是交換子。

假若，$Q$與哈密頓量$H$是可交換的，而且不顯性地含時間，則

$\frac{d}{dt}⟨Q⟩=0$。

所以，$Q$是運動常數。

參閱

• 守恆定律
• 正則變換
• 哈密頓力學
• 拉格朗日力學

參考文獻

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