狄拉克符号

Template:NoteTA Template:量子力学 狄拉克符号或狄拉克標記（Template:Lang-en）是量子力学中广泛应用于描述量子态的一套标准符号系统。在这套系统中，每一个量子态都被描述为希尔伯特空间中的態向量，定义为右矢（ket）：$|\psi ⟩$；每一个右矢的共軛轉置定义为其左矢（bra）；换一种说法，右矢的厄米共轭（即取转置运算加上共轭复数运算），就可以得到左矢。

此標記法為狄拉克於1939年将「bracket」（括号）这个词拆开后所造的。在中國方面，一些旧有的教科书和文献中也将其译为“刁矢”和“刃矢”、或“彳矢”和“亍矢”，现已弃用。

矩陣表示

右矢与左矢可分别用N×1阶和1×N阶矩阵表示为：

$|\psi ⟩=\left(\begin{array}{c}{\psi }_1\\ {\psi }_2\\ {\psi }_3\\ {\psi }_4\\ ⋮\\ {\psi }_N\end{array}\right)$

$⟨\psi |=\left(\begin{array}{cccccc}{\psi }_1^{*},& {\psi }_2^{*},& {\psi }_3^{*},& {\psi }_4^{*},& \cdots ,& {\psi }_N^{*}\end{array}\right)$

不同的两个态矢量的内积则由一个括号来表示：$⟨\varphi |\psi ⟩$，当狄拉克符号作用于两个基矢时，所得值为：$⟨e_i|e_j⟩={\delta }_{ij}$ （${\delta }_{ij}$为克罗内克函數）

相同的态矢量内积为：$⟨\psi |\psi ⟩=\sum _i|{\psi }_i{|}^2$。

性質

因為每個右矢是複希爾伯特空間中的一個向量，而每個右矢-左矢關係是內積，而直接地可以得到如下的操作方式：

• 給定任何左矢$⟨\varphi |$、右矢$|{\psi }_1⟩$以及$|{\psi }_2⟩$，還有複數c₁及c₂，則既然左矢是線性泛函，根據線性泛函的加法與純量乘法的定義，

$⟨\varphi |(c_1|{\psi }_1⟩+c_2|{\psi }_2⟩)=c_1⟨\varphi |{\psi }_1⟩+c_2⟨\varphi |{\psi }_2⟩$。

• 給定任何右矢$|\psi ⟩$、左矢$⟨{\varphi }_1|$以及$⟨{\varphi }_2|$，還有複數c₁及c₂，則既然右矢是線性泛函，

$(c_1⟨{\varphi }_1|+c_2⟨{\varphi }_2|)|\psi ⟩=c_1⟨{\varphi }_1|\psi ⟩+c_2⟨{\varphi }_2|\psi ⟩$。

• 給定任何右矢$|{\psi }_1⟩$及$|{\psi }_2⟩$，還有複數c₁及c₂，根據內積的性質（其中c*代表c的複數共軛），

$c_1|{\psi }_1⟩+c_2|{\psi }_2⟩$與$c_1^{*}⟨{\psi }_1|+c_2^{*}⟨{\psi }_2|$對偶。

• 給定任何左矢$⟨\varphi |$及右矢$|\psi ⟩$，內積的一個公理性質指出

$⟨\varphi |\psi ⟩=⟨\psi |\varphi {⟩}^{*}$。

• 給定任何算符$X$、左矢$⟨\varphi |$及右矢$|\psi ⟩$，它們之間的合法相乘滿足乘法結合公理，例如，Template:Rp

$(|\omega ⟩⟨\varphi |)|\psi ⟩=|\omega ⟩(⟨\varphi |\psi ⟩)$、

$⟨\varphi |(X|\psi ⟩)=(⟨\varphi |X)|\psi ⟩$。

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