角動量圖

Template:NoteTATemplate:量子力学 在量子力學以及其應用如多體問題、量子化學等領域中，角動量圖是一種圖形表示法，用以代表一量子系統的角動量量子態，使得相關計算能以符號形式推演。此方法的箭號將角動量態與狄拉克符號連結。

此方法是由立陶宛物理學家Template:Link-en於20世紀發明。在量子力學以及量子場論領域中，形似的符號表示法尚有費曼圖與潘洛斯圖形符號。這些圖樣包含有箭頭與頂點，有些還有量子數的標記。

狄拉克符號與朱西斯角動量圖的等價

角動量量子態

單一粒子帶有總角動量量子數j與總磁量子數m = j, j − 1, ..., −j + 1, −j，其量子態向量以狄拉克符號的右矢（Ket）標記為Template:Ket，其圖形則為單箭頭的箭號。有一相對應的左矢（Bra）為Template:Bra，其圖形為雙箭頭的箭號，指向與右矢相反。

例子中

• 量子數j、m常標記在箭頭附近，以表示特定的角動量量子態，
• 箭頭常在線段的中間
• 等號"="置於等價的圖樣之間，如同相應的代數運算。

最基本的左矢與右矢圖形符號為： Template:Multiple image

箭號指向頂點或從頂點指出，分別為

• 標準表象（standard representation）以一條離開頂點的指向線段表示，
• 反標準表象（contrastandard representation）則是以一條進入頂點的指向線段表示。

箭號一個一個相接續。在反標準表象中，採用時間反轉算符T。T算符是么正的，也就是其厄米伴算符T^†等於其反算符T⁻¹，即T^† = T⁻¹。其作用在位置算符時，結果保持不變：

$T\widehat{𝐱}{T}^{†}=\widehat{𝐱}$

線動量算符則變為負值：

$T\widehat{𝐩}{T}^{†}=-\widehat{𝐩}$

自旋算符也變為負值：

$T\widehat{𝐒}{T}^{†}=-\widehat{𝐒}$

既然軌域角動量算符L = x × p，在T算符作用後也會變為負值：

$T\widehat{𝐋}{T}^{†}=-\widehat{𝐋}$

也因此總角動量算符J = L + S也變為負值：

$T\widehat{𝐉}{T}^{†}=-\widehat{𝐉}$

作用在角動量算符本徵態Template:Ket，可得：（見註釋）

$T|j,m⟩\equiv |T(j,m)⟩={(-1)}^{j-m}|j,-m⟩$

時間反轉的圖形符號為： Template:Multiple image

將頂點標記在正確位置相當重要，否則正向時間與反向時間的算符會相互混淆。

內積

狀態Template:Ket與狀態Template:Ket的內積：

$⟨j_2,m_2|j_1,m_1⟩={\delta }_{j_1{j}_2}{\delta }_{m_1{m}_2}$

相應的圖形符號為： Template:Multiple image

將內積加總，也就是縮併的計算：

$\sum _m⟨j,m|j,m⟩=2j+1$

習慣上會以一封閉圓來表示，並且標上j：

內積縮併計算

外積

狀態Template:Ket與狀態Template:Ket的外積是一算符：

$|j_2,m_2⟩⟨j_1,m_1|$

相對應的圖形符號為： Template:Multiple image

將外積加總，也就是縮併的計算：

$\begin{array}{cc}\sum _m|j,m⟩⟨j,m|& =\sum _m|j,-m⟩⟨j,-m|\\ & =\sum _m{(-1)}^{2(j-m)}|j,-m⟩⟨j,-m|\\ & =\sum _m{(-1)}^{j-m}|j,-m⟩⟨j,-m|{(-1)}^{j-m}\\ & =\sum _{m}T|j,m⟩⟨j,m|T^{†}\end{array}$

時間反轉算符T的結果可見於上式TTemplate:Ket。對外積縮併計算來縮，正向時間與反向時間沒有差別，因此圖形符號表示是相同的，皆為一無指向的線段，其上僅標示j：

外積縮併計算

張量積

n狀態Template:Ket, Template:Ket, ... Template:Ket的張量積⊗可寫為：

$\begin{array}{cc}|j_1,m_1,j_2,m_2,...j_n,m_n⟩& \equiv |j_1,m_1⟩\otimes |j_2,m_2⟩\otimes \cdots \otimes |j_n,m_n⟩\\ & \equiv |j_1,m_1⟩|j_2,m_2⟩\cdots |j_n,m_n⟩\end{array}$

圖形符號則呈扇形——n項個別態的線段匯聚於一共同頂點。

頂點附近標有一正負號，以表示張量積的順序：

• 負號(−)表示順序為順時針走向$\circlearrowright$，
• 正號(+)表示順序為逆時針走向$\circlearrowleft$.

有時候會在正負號之外，加上彎箭頭來表示上述的走向。 Template:Multiple image

兩張量積態的內積：

$\begin{array}{cc}& ⟨j{\text{'}}_n,m{\text{'}}_n,...,j{\text{'}}_2,m{\text{'}}_2,j{\text{'}}_1,m{\text{'}}_1|j_1,m_1,j_2,m_2,...j_n,m_n⟩\\ =& ⟨j{\text{'}}_n,m{\text{'}}_n|...⟨j{\text{'}}_2,m{\text{'}}_2|⟨j{\text{'}}_1,m{\text{'}}_1||j_1,m_1⟩|j_2,m_2⟩...|j_n,m_n⟩\\ =& \prod _{k=1}^n⟨j{\text{'}}_k,m{\text{'}}_k|j_k,m_k⟩\end{array}$

相關條目

• 角動量
• 狄拉克符號
• 克萊布希－高登係數
• 角動量算符
• 階梯算符
• 費曼圖

參考資料

註釋

• Template:Cite news These authors use the theta variant ϑ for the time reversal operator, here we use T.

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延伸閱讀

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