有限秩算子

Template:Refimprove Template:NoteTA 泛函分析中，有限秩算子（Template:Lang-en）是巴拿赫空间之间，像的维数有限的有界线性算子。

希爾伯特空間中

典範型

有限秩算子類似有限大小的矩陣，但是放在無窮維空間中。於是，可藉線性代數技巧刻畫其性質。

由線性代數知，複矩陣$M\in {ℂ}^{n\times m}$之秩為1，當且僅當$M$可以寫成：

$M=\alpha \cdot u{v}^{*}$ 其中 $\Vert u\Vert =\Vert v\Vert =1$ 且 $\alpha \ge 0$

同樣可證希氏空間$H$上，算子$T$之秩為1，當且僅當

$Th=\alpha ⟨h,v⟩u\mathrm{\forall }h\in H,$

其中$\alpha ,u,v$與有限維情況滿足同等條件。由此，用數學歸納法，可證秩$n$的算子$T$必可寫成

$Th=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i⟨h,v_i⟩u_i\mathrm{\forall }h\in H,$

其中$\{u_i:i=1,2,\dots ,n\}$和$\{v_i:i=1,2,\dots ,n\}$皆為标准正交基。前述表示法實質等同於奇异值分解，可以稱為有限秩算子的「典範型」（Template:Lang）。

略加推廣，若$n$改為可數無窮，而正實數列$\{{\alpha }_i\}$僅會聚於0，則$T$為Template:Link-en，相應的和式稱為緊算子的典範型。

若級數$\sum _i{\alpha }_i$（跡）收斂，則$T$是迹类算子。

代數性質

希氏空間$H$上，全體有限秩算子之族$F(H)$是有界算子代數$L(H)$的雙邊*理想。此外，其為此類（非零）理想中最小者，即$L(H)$的任何雙邊*理想$I$必包含全體有限秩算子。簡證如下：取非零算子$T\in I$，則有非零的$f,g$使$Tf=g$。衹需證對任意$h,k\in H$，將$h$映至$k$的秩1算子$S_{h,k}$屬於$I$。同樣定義$S_{h,f}$和$S_{g,k}$，則有

$S_{h,k}=S_{g,k}T{S}_{h,f},$

從而$S_{h,k}$在$I$中，證畢。

$L(H)$的雙邊*理想舉例有跡類、希尔伯特-施密特算子類、紧算子類。三類各自配備範數，而$F(H)$在此三個賦範空間中稠密。

由於$L(H)$的每個雙邊理想都包含$F(H)$，$L(H)$為單代數當且僅當有限維。

巴拿赫空間中

巴拿赫空间$U,V$之間的有限秩算子$T:U\to V$是值域僅得有限維的有界算子。與希氏空間的情況一樣，可以寫成

$Th=\sum _{i=1}^n⟨u_i,h⟩v_i\mathrm{\forall }h\in U,$

其中$v_i\in V$，但由於$U$中沒有定義內積，$u_i\in U^{\prime }$換成$U$上的有界線性泛函。

有界線性泛函是有限秩算子的特例，其秩為1。