希尔伯特-施密特算子

在数学中，一个希尔伯特-施密特算子(Template:Lang-en)（得名于大卫·希尔伯特和埃哈德·施密特）, 是希尔伯特空间H上的有界算子A，有有限的希尔伯特-施密特范数

$\Vert A{\Vert }_{HS}^2=\mathrm{T}\mathrm{r}(A^{*}A):=\sum _{i\in I}\Vert A{e}_i{\Vert }^2$，

其中$\Vert \Vert$是H上的范数，$\{e_i:i\in I\}$是H上的一组标准正交基，Tr是非负自伴算子的迹。这里指标集不一定可数。这个定义不依赖于基底的选择，所以有

$\Vert A{\Vert }_{HS}^2=\sum _{i,j}|A_{i,j}{|}^2=\Vert A{\Vert }_2^2$，

其中$A_{i,j}=⟨e_i,A{e}_j⟩$，$\Vert A{\Vert }_2$为$A$在p = 2时的Template:Link-en。在欧几里得空间中，$\Vert {\Vert }_{HS}$也被称为弗罗贝尼乌斯范数，得名于费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯。

两个希尔伯特-施密特算子的乘积有有限的迹类范数；因此，如果A和B是两个希尔伯特-施密特算子，希尔伯特-施密特内积可以如下定义

$⟨A,B{⟩}_{\mathrm{H}\mathrm{S}}=\mathrm{Tr}(A^{*}B)=\sum _i⟨A{e}_i,B{e}_i⟩$。

希尔伯特-施密特算子构成一个H上的有界算子的Template:Link-en的双边*理想。它们构成一个希尔伯特空间，可以证明自然等距同构到Template:Link-en

$H^{*}\otimes H$，

其中H^∗是H的对偶空间。

希尔伯特-施密特算子的集合在范数拓扑下是闭集，当且仅当H是有限维空间。

一类重要的例子是Template:Link-en。

希尔伯特-施密特算子是二阶Template:Link-en，因此是紧的。

另请参阅

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