Testwiki:臺灣教育專案/臺大物理系服務學習/112-1/斯托克斯問題

黏滯流體中受固體平面週期振盪的斯托克斯問題(底部黑色邊界)。速度(藍線)和粒子位移(紅點)為到平面距離的函數。

在流體動力學中，斯托克斯問題(斯托克斯第二問題)，或常稱為斯托克斯邊界層和振盪邊界層，是個描述受固體平面振盪所影響的流體行為，以喬治·斯托克斯爵士來命名。這是其中一個有精確納維-斯托克斯方程式解的簡單非穩定問題。 在湍流中，這問題同樣被稱為斯托克斯邊界層， 但須仰賴Template:Link-en、Template:Link-en與Template:Link-en才能得到有用的流體資訊。

流體描述

考慮一個無限大平面，在$x$方向以速度$U\cos \omega t$作週期振盪,平面位置為 $y=0$，上方充滿流體， $\omega$是週期振盪的角頻率。非壓縮性的納維-斯托克斯方程式可被簡化為

$\frac{\partial u}{\partial t}=\nu \frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}$

其中$\nu$為流體的Template:Link-en。壓力梯度未被考慮進此問題中。初始壁上的Template:Link-en為

$u(0,t)=U\cos \omega t,u(\mathrm{\infty },t)=0,$

第二個邊界條件是因為$y=0$的振盪不會影響到無限遠處。流體只受平面振盪影響，不考慮壓力梯度。

問題解

因為週期性，不須考慮初始條件。因為方程式與邊界條件皆是線性的，速度函數可以寫成某個虛數函數的實數部分

$u=U\mathrm{\Re }[e^{i\omega t}f(y)]$

因為$\cos \omega t=\mathrm{\Re }{e}^{i\omega t}$

將上式帶入偏微分方程式中，可簡化為

$f^{″}-\frac{i\omega }{\nu }f=0$

將邊界條件帶入

$f(0)=1,f(\mathrm{\infty })=0$

即可得到上式方程式的解為

$f(y)=\exp [-\frac{1+i}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{\omega }{\nu }}y]$

$u(y,t)=U{e}^{-\sqrt{\frac{\omega }{2\nu }}y}\cos (\omega t-\sqrt{\frac{\omega }{2\nu }}y)$

受振盪平面所影響的擾動以波的形式傳播流體，但會受指數項衰減。波的滲透深度$\delta =\sqrt{2\nu /\omega }$隨振盪頻率下降而上升，隨著運動黏度下降而下降。

單位面積因流體而施加在平面上的力為

$F=\mu {\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)}_{y=0}=\sqrt{\rho \omega \mu }U\cos (\omega t-\frac{\pi }{4})$

在力與平面的振盪之間有產生一相位差。

邊界附近的窩度振盪

振盪斯托克斯流解的一大重點是Template:Link-en振盪受限於狹小邊界層中並在遠離平面時以指數衰減。這個發現同樣適用於渦流邊界層。在斯托克斯邊界層外(充滿大部分流體的地方)，渦流振盪可以被忽略。作為好的近似, 流速振盪在邊界層外是Template:Link-en的，且位流理論可用來解釋振盪運動的部分。這大大簡化了問題，也很常被應用在聲波和水波的無旋部分。

受制於上平面的流體

若流體受制於位置$y=h$，固定不動的上平面，那麼流速可以被寫為

$u(y,t)=\frac{U}{2(\cosh 2\lambda h-\cos 2\lambda h)}[e^{-\lambda (y-2h)}\cos (\omega t-\lambda y)+e^{\lambda (y-2h)}\cos (\omega t+\lambda y)-e^{-\lambda y}\cos (\omega t-\lambda y+2\lambda h)-e^{\lambda y}\cos (\omega t+\lambda y-2\lambda h)]$

其中$\lambda =\sqrt{\omega /(2\nu )}$。

流體受制於自由平面

假設流體區域為$0<y<h$ ， $y=h$處代表一個自由面。其解在1968 被易家訓院士 解出，其為

$u(y,t)=\frac{U\cos h/\delta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}h/\delta }{2({\cos }^{2}h/\delta +{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}}^{2}h/\delta )}\mathrm{\Re }\{W+W^{*}-i\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}h/\delta \tan h/\delta (W-W^{*})\},W=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}[(1+i)(h-y)/\delta ]e^{i\omega t}$

其中 $\delta =\sqrt{2\nu /\omega }.$

平面附近受週期壓力梯度振盪的流體行為

受正弦曲線遠場速度振盪影響的斯托克斯邊界層。藍縣是水平速度，紅點則是相對應的水平粒子偏移

對於振盪Template:Link-en流的情況，考慮平面靜止， 其可以透過先前的解藉由Template:Link-en組合起來。考慮遠離平面處波速以$u(\mathrm{\infty },t)=U_{\mathrm{\infty }}\cos \omega t$振盪，在平面處 $u(0,t)=0$。不像先前穩流情況，這邊無限遠處的壓力梯度會是一個時間的週期函數，其解為

$u(y,t)=U_{\mathrm{\infty }}[\cos \omega t-{\text{e}}^{-\sqrt{\frac{\omega }{2\nu }}y}\cos (\omega t-\sqrt{\frac{\omega }{2\nu }}y)],$

在 z = 0 的地方值為0, 此與平面靜止的Template:Link-en有關。這個解很常在牆壁附近的聲波問題碰到，或是水床附近的水波問題。靜止平面附近的窩度振盪值與振盪平面的值相同，但差一負號。

圓柱對稱下的斯托克斯問題

扭轉振盪

考慮無限長、半徑為 $a$的圓柱體以角速度 $\mathrm{\Omega }\cos \omega t$作扭轉振盪，$\omega$是其振盪角頻率。那麼暫態後的速度會趨向於

$v_{\theta }=a\mathrm{\Omega }\mathrm{\Re }\left[\frac{K_1(r\sqrt{i\omega /\nu })}{K_1(a\sqrt{i\omega /\nu })}{e}^{i\omega t}\right]$

其中 $K_1$第二種形式的修正 Bessel Function。這個解可以被表示為下式的實數部分:

$\begin{array}{cc}{v}_{\theta }(r,t)& =\mathrm{\Psi }\{[{\text{kei}}_1\left(\sqrt{R_{\omega }}\right){\text{kei}}_1\left(\sqrt{R_{\omega }}r\right)+{\text{ker}}_1\left(\sqrt{R_{\omega }}\right){\text{ker}}_1\left(\sqrt{R_{\omega }}r\right)]\cos \left(t\right)\\ & +[{\text{kei}}_1\left(\sqrt{R_{\omega }}\right){\text{ker}}_1\left(\sqrt{R_{\omega }}r\right)-{\text{ker}}_1\left(\sqrt{R_{\omega }}\right){\text{kei}}_1\left(\sqrt{R_{\omega }}r\right)]\sin \left(t\right)\}\\ \end{array}$

其中

$\mathrm{\Psi }={[{\text{kei}}_1^2\left(\sqrt{R_{\omega }}\right)+{\text{ker}}_1^2\left(\sqrt{R_{\omega }}\right)]}^{-1},$

$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{i}$和 $\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}$是開爾文函數，$R_{\omega }$是無單位的振盪雷諾數，定義為$R_{\omega }=\omega a^2/\nu$，其中$\nu$是運動黏度。

軸向振盪

若圓柱體在軸向以$U\cos \omega t$振盪,其速度場為

$u=U\mathrm{\Re }\left[\frac{K_0(r\sqrt{i\omega /\nu })}{K_0(a\sqrt{i\omega /\nu })}{e}^{i\omega t}\right]$

其中$K_0$為修正Bessel Function的第二種形式。

斯托克斯-庫埃特流

對於泰勒-庫埃特流,除了其中一個平面的平移運動, 其平面的週期運動是可以被運算的。若我們有個在 $y=0$ 的靜止平面與在 $y=h$的上表面，受$U\cos \omega t$的速度振盪驅動, 其速度場可被寫為

$u=U\mathrm{\Re }\left\{\frac{\sin ky}{\sin kh}\right\},\text{where}k=\frac{1+i}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{\omega }{\nu }}.$

單位面積施加在移動平面上的摩擦力為 $-\mu U\mathrm{\Re }\{k\cot kh\}$，施加在靜止的則是 $\mu U\mathrm{\Re }\{k\csc kh\}$。

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