瑞利問題

在流體力學中，瑞利問題（Template:Lang）或斯托克斯第一問題（Template:Lang），得名於瑞利男爵與喬治·斯托克斯，是一個由無限長平板從靜止開始運動所產生的流體流動問題。這被認為是具有納維-斯托克斯方程式精確解的最簡單的非穩定問題之一。Template:Tsl研究了由半無限平板運動所產生的現象 。

流體描述

考慮一個對初始靜止的無限大流域來說位於$y=0$的無限長平板突然以定速度$U$往$x$方向移動，不可壓縮納維-斯托克斯方程式可簡化為

$\frac{\partial u}{\partial t}=\nu \frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}$

其中$\nu$是黏度。板與流體接觸面的初始條件與Template:Tsl為

$u(y,0)=0,u(0,t>0)=U,u(\mathrm{\infty },t>0)=0,$

最後一個條件是由於無限遠處的流體無法被$y=0$的運動所影響。流體的流動只由平板移動所導致，此處並沒有外加的壓力梯度。

自相似解

該問題類似於一維的熱傳導問題，因此這裡可以引入相似的變量

$\eta =\frac{y}{\sqrt{\nu t}},f(\eta )=\frac{u}{U}$

將它們代入上述的偏微分方程，可以簡化為常微分方程

$f^{″}+\frac{1}{2}\eta f^{\prime }=0$

並具有邊界條件

$f(0)=1,f(\mathrm{\infty })=0$

上述問題的解可被寫成含互補誤差函數的形式

$u=U\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{c}\left(\frac{y}{\sqrt{4\nu t}}\right)$

單位面積施加在平板上的力為

$F=\mu {\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)}_{y=0}=-\rho \sqrt{\frac{\nu U^2}{\pi t}}$

任意平板運動

除了用上述的階躍邊界條件，平板的速度也可以是時間的任意函數$U=f(t)$。方程式的解可以寫為

$u(y,t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{f(\tau )}{2\sqrt{\pi \nu }}\frac{y}{(t-\tau {)}^{3/2}}{e}^{-\frac{y^2}{4\nu (t-\tau )}}d\tau .$

圓柱體的瑞利問題

旋轉的圓柱

考慮一個半徑為$a$的無限長圓柱體於時間$t=0$時開始以角速度$\mathrm{\Omega }$旋轉，則$\theta$方向的速度由下式給出

$v_{\theta }=\frac{a\mathrm{\Omega }}{2\pi i}\underset{-i\mathrm{\infty }}{\overset{i\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{K_1(r\sqrt{s/\nu })}{K_1(a\sqrt{s/\nu })}{e}^{st}\frac{ds}{s}$

其中$K_1$是第二類修正貝索函數。當$t\to \mathrm{\infty }$，方程式的解趨近於剛體渦旋。單位面積施加於圓柱體的力為

$F=\mu {(\frac{\partial v_{\theta }}{\partial r}-\frac{v_{\theta }}{r})}_{r=a}=\frac{\rho a^2\mathrm{\Omega }}{t}{e}^{-\frac{a^2}{2\nu t}}{I}_0\left(\frac{a^2}{2\nu t}\right)-2\mu \mathrm{\Omega }$

其中$I_0$第一類修正貝索函數。

滑動的圓柱

精確解在圓柱體沿軸向以等速度$U$運動也存在。設圓柱體的軸向指向 $x$ 方向，則方程式的解為

$u=\frac{U}{2\pi i}\underset{-i\mathrm{\infty }}{\overset{i\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{K_0(r\sqrt{s/\nu })}{K_0(a\sqrt{s/\nu })}{e}^{st}\frac{ds}{s}.$

參看

• Template:Tsl