开尔文函数

Template:多個問題 开尔文函数有两类^[1]，得名自開爾文勳爵。第一类 $b e r_{v} (x)$ , $b e i_{v} (x)$

第二类 $k e r_{v} (x)$ , $k e i_{v} (x)$

第一类开尔文函数

$b e r_{v} (x) = R e (J_{ν} (x e^{\frac{3 π i}{4}}))$

其中 $R e (f)$ 代表 $f$ 的实数部分， $J_{ν}$ 是第一类贝塞尔函数。

$b e r_{v} (x) = I m (J_{ν} (x e^{\frac{3 π i}{4}}))$

其中 $I m (f)$ 代表 $f$ 的虚数部分。

{b e r}_{n} (x) = {(\frac{x}{2})}^{n} \sum_{k \geq 0} \frac{\cos [(\frac{3 n}{4} + \frac{k}{2}) π]}{k! Γ (n + k + 1)} {(\frac{x^{2}}{4})}^{k}

{b e i}_{n} (x) = {(\frac{x}{2})}^{n} \sum_{k \geq 0} \frac{\sin [(\frac{3 n}{4} + \frac{k}{2}) π]}{k! Γ (n + k + 1)} {(\frac{x^{2}}{4})}^{k}

其中n为整数，上式分母的 $Γ$ 是Γ函数。

$K e r_{v} (x) = R e (K_{ν} (x e^{\frac{π i}{4}}))$

$K e i_{v} (x) = I m (K_{ν} (x e^{\frac{π i}{4}}))$ 其中 $K_{ν}$ 是第二類修正贝塞尔函数。

\begin{matrix} {k e r}_{n} (x) & = - \ln (\frac{x}{2}) {b e r}_{n} (x) + \frac{π}{4} {b e i}_{n} (x) \\ + \frac{1}{2} {(\frac{x}{2})}^{- n} \sum_{k = 0}^{n - 1} \cos [(\frac{3 n}{4} + \frac{k}{2}) π] \frac{(n - k - 1)!}{k!} {(\frac{x^{2}}{4})}^{k} \\ + \frac{1}{2} {(\frac{x}{2})}^{n} \sum_{k \geq 0} \cos [(\frac{3 n}{4} + \frac{k}{2}) π] \frac{ψ (k + 1) + ψ (n + k + 1)}{k! (n + k)!} {(\frac{x^{2}}{4})}^{k} \end{matrix}

\begin{matrix} {k e i}_{n} (x) & = - \ln (\frac{x}{2}) {b e i}_{n} (x) - \frac{π}{4} {b e r}_{n} (x) \\ - \frac{1}{2} {(\frac{x}{2})}^{- n} \sum_{k = 0}^{n - 1} \sin [(\frac{3 n}{4} + \frac{k}{2}) π] \frac{(n - k - 1)!}{k!} {(\frac{x^{2}}{4})}^{k} \\ + \frac{1}{2} {(\frac{x}{2})}^{n} \sum_{k \geq 0} \sin [(\frac{3 n}{4} + \frac{k}{2}) π] \frac{ψ (k + 1) + ψ (n + k + 1)}{k! (n + k)!} {(\frac{x^{2}}{4})}^{k} \end{matrix}

上式的 $ψ$ 是双伽玛函数。