超复数

超複數是複數在抽象代數中的引申，通常是實數域上某個有限維的單位代數的元素。19世紀後期對超複數的研究，成為現代群表示論的根基。 此種代數舉例如下：

• 4維度：四元數、雙複數、分裂四元數
• 8維度：八元數、複四元數
• 16維度：十六元數

歷史

19世紀，實數系和複數系之外的若干數系，如四元數系、雙複數系、分裂四元數系、複四元數系、八元數系，成為數學文獻中完善的概念。超複數是涵蓋該些數系的概念，吸引學者研究和分類。

分類工作始於本傑明·皮爾士的1872年文章〈線性結合代數〉，並由其子查爾斯·桑德斯·皮爾士接續。重要的是，二人認定冪零元和冪等元皆對分類有用。凱萊－迪克森構造利用對合，從實數系開始，生成複數系、四元數系、八元數系。赫維茲和弗羅貝尼烏斯證明超複數的若干限制：赫維茲定理斷言有限維的實Template:Link-en僅得實數系$ℝ$、複數系$ℂ$、四元數系$ℍ$、八元數系$𝕆$，而Template:Link-en斷言，實Template:Link-en僅得$ℝ$、$ℂ$、$ℍ$。1958年，Template:Link-en考慮H-空間（有具單位元的連續乘法的拓撲空間）的霍普夫不變量，發表推廣的結果，該結果仍將維數限制在1、2、4、8。

矩陣代數對研究超複數系幫助很大。首先，矩陣提供新的超複數系，例如$2\times 2$實矩陣組成的代數（同構於分裂四元數）。很快，矩陣方法解明其他超複數系，因為該些超複數系也可以用矩陣及其運算表示。1907年，約瑟夫·韋德伯恩證明，滿足結合律的超複數系可表示為方陣代數或其直積。Template:NoteTag此後，結合代數成為較常用來稱呼超複數系的術語，例如韋德伯恩在愛丁堡大學的學位論文標題便用了此術語。然而，也有不可結合的數系，例如八元數系和Template:Link-en，也算是另一類的超複數。

湯馬士·霍金斯（Thomas Hawkins）解釋，超複數是研究李群和群表示論的踏腳石。例如，1929年，埃米·諾特發表〈超複量與表示論〉。1973年，Template:Link-en和索洛多夫尼科夫（A. S. Solodovnikov）出版關於超複數的德文教科書，該書於1989年翻譯成英文。

Template:Link-en詳細介紹全盛期的超複數研究，包括數學家Template:Link-en和Template:Link-en的貢獻。關於超複數至近世代數的過渡，Template:Link-en在《代數史》有三十頁專論超複數。

定義

Template:Harvtxt定義超複數為實域上某個有限維代數的元素，而該代數要有單位，但無需可結合或可交換。 該些元素可以寫成一組基$\{1,i_1,\dots ,i_n\}$的線性組合，其中系數為實數$(a_0,\dots ,a_n)$，而基的大小$n+1$稱為該代數的維數。若可行，一般將基正規化，即選取$i_k$使$i_k^2\in \{-1,0,+1\}$。下節先考慮二維超複數（即$n=1$）。

二維實代數

關於二維實代數有以下定理：Template:Rp在同構意義下，實域上的二維單位代數恰有3個：複數系、雙曲複數系、二元數系。於是，實域上的所有二維單位代數皆可結合和可交換。

下段簡述定理的證明。

因為給定的代數是二維，可選一組基$\{1,u\}$。因為代數對乘法封閉，$u$的平方仍是代數的元素，故可寫成線性組合：

$u^2=a_0+a_{1}u,$

其中$a_0,a_1$為實系數。

運用常見的配方法，兩邊減走$a_{1}u$並加上$a_1^2/4$，得：

$u^2-a_{1}u+\frac{a_1^2}{4}=a_0+\frac{a_1^2}{4}.$

所以${(u-\frac{a_1}{2})}^2={\tilde{u}}^2$，其中${\tilde{u}}^2=a_0+\frac{a_1^2}{4}$是實數。 取決於此實數值，分別有三種情況：

1. 若$4a_0=-a_1^2$，則上式變成${\tilde{u}}^2=0$。於是，$\tilde{u}$可視為二元數的基$\{1,\epsilon \}$中的冪零元$\epsilon$。
2. 若$4a_0>-a_1^2$，則有${\tilde{u}}^2>0$。雙曲複數的標準基$\{1,j\}$滿足$j^2=+1$，故若除$\tilde{u}$以正實數$a:=\sqrt{a_0+\frac{a_1^2}{4}}$（其平方與$\tilde{u}$平方相等），得到的結果即可視為$j$。
3. 若$4a_0<-a_1^2$，則有${\tilde{u}}^2<0$。平常複數的標準基$\{1,i\}$滿足$i^2=-1$，故若除$\tilde{u}$以正實數$a:=\sqrt{\frac{a_1^2}{4}-a_0}$（其平方與$\tilde{u}$平方互為相反數），得到的結果即可視為$i$。

從而定理成立。

複數系是以上三個二維實代數中唯一一個域。若代數具有1的非實平方根$j$（如雙曲複數），則也有冪等元$\frac{1}{2}(1\pm j)$和零因子（因為$(1+j)(1-j)=0$），故此種代數必不為Template:Link-yue。然而，此種性質有時很有用，例如雙曲複數適用於描述狹義相對論的勞侖茲變換。

《數學雜誌》在2004年的某版中，稱二維實代數為「廣義複數」（generalized complex numbers）。四個複數交比的概念也可以推廣到其他二維實代數。

高維例子（有多於一條非實軸）

克里福代數

Template:Main 克里福代數是由賦有二次型的向量空間所生成的單位結合代數。在實域上，其等價於可以定義對稱純量積$u\cdot v=\frac{1}{2}(uv+vu)$，正交化該二次型，以得到基$\{e_1,\dots ,e_k\}$，滿足：

$\frac{1}{2}(e_i{e}_j+e_j{e}_i)=\{\begin{array}{cc}-1,0,+1,& i=j,\\ 0,& i=j.\end{array}$

由乘法封閉性，該向量空間的基相乘得到$2^k$個Template:Link-en，即$1,e_1,e_2,e_3,\dots ,e_1{e}_2,\dots ,e_1{e}_2{e}_3,\dots ,e_1{e}_2\cdots e_k$，皆為克里福代數的元素，且組成該代數的基（不同於原向量空間的基），可視為一個超複數系的基。與原向量空間的基$\{e_1,\dots ,e_k\}$不同，該代數的其他基元素不一定反交換，而是取決於將兩個因子對調時，會交換的簡單因子（即$e_i$）有奇數對抑或偶數對。所以，$e_1{e}_2=-e_2{e}_1$，但$e_1(e_2{e}_3)=+(e_2{e}_3)e_1$。

若不允許$e_i^2=0$（即二次型Template:Link-en），則餘下的克里福代數可記為${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{p,q}(ℝ)$，表示其為$p$個滿足$e_i^2=+1$的簡單基元和$q$個滿足$e_i^2=-1$的簡單基元生成的代數，而括號內的$ℝ$指明此為實域上的克里福代數，即元素的系數為實數。

該些代數稱為幾何代數，組成有規律的一族。該族代數適用於描述轉動、相位、自旋，因此在古典和量子力學、電磁學、相對論方面很有用。

此族代數包括：複數系${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{0,1}(ℝ)$、雙曲複數系${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{1,0}(ℝ)$，四元數系${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{0,2}(ℝ)$、Template:Link-en${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{0,3}(ℝ)$、分裂四元數系${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{1,1}(ℝ)\cong {\mathrm{C}\mathrm{l}}_{2,0}(ℝ)$（二維空間生成的自然代數）、${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{3,0}(ℝ)$（三維空間生成的自然代數，也是包立矩陣生成的代數）、時空代數${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{1,3}(ℝ)$。

代數${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{p,q}(ℝ)$可以視為代數${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{q+1,p}(ℝ)$的偶子代數${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{q+1,p}^{[0]}(ℝ)$，從而可用作描述${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{q+1,p}(ℝ)$中的旋轉。因此，複數密切關係二維空間的旋轉，四元數密切關係三維空間的旋轉，雙曲複數密切關係1+1維時空的雙曲旋轉（洛侖茲變換），餘可類推。

雖然八維或以上時，凱萊-迪克森結構和分裂複數構造的乘法不可結合，任意維數的克里福代數皆可結合。

1995年，Template:Link-en有關克里福代數的書中，論及「子代數的辨認」。其命題11.4總結超複數的情況：

設$A$為實結合代數，且具有單位元$1$。則

• $1$生成$ℝ$（實子代數），
• 若$e_0\in A$是任何滿足$e_0^2=-1$的元素，則其生成的二維子代數與$ℂ$同構（複子代數），
• 若$e_0\in A$是任何滿足$e_0^2=+1$的元素，則其生成的二維子代數與${ℝ}^2$同構（此處${ℝ}^2$是實二元組的集合，其上的乘法是逐個分量相乘。該代數與雙曲複代數同構），
• 若$e_0^2=e_1^2=-1$，且$e_0,e_1$反交換，則$\{e_0,e_1\}$生成的四維子代數同構於$ℍ$（四元數代數），
• 若$e_0^2=e_1^2=1$，且$e_0,e_1$反交換，則$\{e_0,e_1\}$生成的四維子代數同構於${ℳ}_2(ℝ)$（元素為$2\times 2$實矩陣，或分裂四元數），
• 若$e_0^2=e_1^2=e_2^2=-1$，且$e_0,e_1,e_2$兩兩反交換，則其生成的八維子代數同構於${}^2ℍ$（Template:Link-en），
• 若$e_0^2=e_1^2=e_2^2=1$，且$e_0,e_1,e_2$兩兩反交換，則其生成的八維子代數同構於${ℳ}_2(ℂ)$（元素為$2\times 2$複矩陣，亦可視為複四元數或包立代數）。

超出該些古典代數的延伸，見Template:Link-en。

凱萊－迪克森構造

Template:Further 撇除實數系、複數系、四元數系不計，其他克里福代數${\mathrm{C}\mathrm{l}}_{p,q}(ℝ)$皆含有平方為$+1$的非實數，故不能為除代數。凱萊－迪克森構造是另一個擴展複數系的方法，其給出維數為$2^n(n=2,3,4,\dots )$的數系，該些數系的基$\{1,i_1,\dots ,i_{2^n-1}\}$滿足：所有非實的基元兩兩反交換，且$i_m^2=-1$。在8維或以上時（即$n\ge 3$），該些代數不可結合，而在16維或以上時（即$n\ge 4$），該些代數有零因子。

此構造得到的前幾個代數是4維的四元數系、8維的八元數系、16維的十六元數系。隨維數上升，其代數結構的對稱性逐一失去：四元數乘法不可交換，八元數乘法不可結合，而十六元數的範數不具積性。

凱萊－迪克森構造的某些步驟中，若插入額外的符號，則得到Template:Link-en中的「分裂代數」，而非除代數：

分裂複數系：有基$\{1,i_1\}$，滿足$i_1^2=+1$，

分裂四元數系：有基$\{1,i_1,i_2,i_3\}$，滿足$i_1^2=-1,i_2^2=i_3^2=+1$，

Template:Link-en：有基$\{1,i_1,\dots ,i_7\}$，滿足$i_1^2=i_2^2=i_3^2=-1$，$i_4^2=i_5^2=i_6^2=i_7^2=+1$。

與複數系不同，分裂複數系並非代數閉，甚至包含非平凡的零因子和冪等元。與四元數系類似，分裂四元數系亦不可交換，但同時還含有冪零元。分裂四元數與二階方陣的代數同構。分裂八元數系不可結合，也含有冪零元。

張量積

兩個代數的張量積仍為代數，如此可構造更多超複數系。

作為例子，取2維實代數$ℂ$（複數系）、4維實代數$ℍ$（四元數系）、8維實代數$𝕆$（八元數系），分別與$ℂ$作張量積，依次得4維的雙複數系$ℂ{\otimes }_{ℝ}ℂ$、8維的複四元數系$ℂ{\otimes }_{ℝ}ℍ$、16維的複八元數系$ℂ{\otimes }_{ℝ}𝕆$。

其他例子

• 多重複數：其組成複域上的$2^{n-1}$維向量空間。
• Template:Link-en：賦有二次型的代數，其中二次型與乘法可互換次序。

參見

• 十六元數
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• 理查德·布饒爾
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