雙複數

雙複數是擁有以下形式的超複數：

t = w + x i + y j + z k, w, x, y, z \in R

而 $i j = j i = k, i^{2} = - 1, j^{2} = + 1 .$

線性表示法

在雙複數 $t = w + x i + y j + z k,$ 中，請注意由於ij=k，所以 $t = (w + x i) + (y + z i) j$ 。這映射

t \mapsto (\begin{matrix} p & q \\ q & p \end{matrix}), p = w + x i, q = y + z i

。

是一個以2x2的複數矩陣組成的雙複數的線性表示方式。

例如，ik = i(ij) = (ii)j = −j的線性表示法是

(\begin{matrix} i & 0 \\ 0 & i \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & i \\ i & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) .

請注意這代數矩陣與其他代數矩陣的分別是：這代數矩陣是一個可交換的代數矩陣。