超几何函数

Template:NoteTA Template:Otheruses 在数学中，高斯超几何函数或普通超几何函数2F1(a,b;c;z)是一个用超几何级数定义的函数，很多特殊函数都是它的特例或极限。所有具有三个Template:Link-en的二阶线性常微分方程的解都可以用超几何函数表示。

超几何级数

当$c$为正整数时，对于|z| < 1，超几何函数可用如下幂级数定义

${}_2{F}_1(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a^{(n)}{b}^{(n)}}{c^{(n)}}\frac{z^n}{n!}$

其中 $x^{(n)}$ 是遞進階乘，定义为:

$q^{(n)}=\{\begin{array}{cc}1& \text{if }n=0\\ q(q+1)\cdots (q+n-1)& \text{if }n>0\end{array}$

当a或b是0或负整数时级数只有有限项，另有避免这种情况出现的正则超几何函数。

对于满足|z| ≥ 1 的复数z，超几何函数可以通过将上述在单位圆内定义的函数沿着避开支点0和1的任意路径做解析延拓来得到。具体的公式可以表示为

$\begin{array}{cc}& {}_2{F}_1(a,b;c;z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(b-a)\mathrm{\Gamma }(c)(-z{)}^{-a}}{\mathrm{\Gamma }(b)\mathrm{\Gamma }(c-a)}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_k(a-c+1{)}_k{z}^{-k}}{k!(a-b+1{)}_k}+\frac{\mathrm{\Gamma }(a-b)\mathrm{\Gamma }(c)(-z{)}^{-b}}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(c-b)}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(b{)}_k(b-c+1{)}_k{z}^{-k}}{k!(-a+b+1{)}_k}/;\\ & |z|\ge 1\wedge a-b\notin \mathbb{Z}\end{array}$

特殊情形

很多普通的数学函数可以用超几何函数或它的极限表示出来，一些典型的例子如下：

$\ln (1+z)=z{}_2{F}_1(1,1;2;-z)$.

$(1-z{)}^{-a}={}_2{F}_1(a,1;1;z)$

$\arcsin z=z{}_2{F}_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};\frac{3}{2};z^2)$

合流超几何函数（Kummer函数）可以用超几何函数的极限表示如下

$M(a,c,z)=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }{}_2{F}_1(a,b;c;b^{-1}z)$

因此，所有合流超几何函数的特例，例如贝塞尔函数都可以表示成超几何函数的极限。

勒让德函数是有3个正则奇点的二阶线性常微分方程的解，可以用以不同的形式用超几何函数表示，例如

${}_2{F}_1(a,1-a;c;z)=\mathrm{\Gamma }(c)z^{\frac{1-c}{2}}(1-z{)}^{\frac{c-1}{2}}{P}_{-a}^{1-c}(1-2z)$

很多多项式，例如贾可比多项式 PTemplate:Su及其特殊情形勒让德多项式、车比雪夫多项式、Gegenbauer多项式都能用超几何函数表示

${}_2{F}_1(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)=\frac{n!}{(\alpha +1{)}_n}{P}_n^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)$ 其它特殊情形还包括Krawtchouk多项式、Meixner多项式、Meixner–Pollaczek多项式。

Template:Link-en有时能表示成参数a, b, c是1, 1/2, 1/3, ... 或 0 的超几何函数之比的反函数。例如，若

$\tau =\mathrm{i}\frac{{}_2{F}_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;1-z)}{{}_2{F}_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z)}$

则

$z={\kappa }^2(\tau )=\frac{{\theta }_2(\tau {)}^4}{{\theta }_3(\tau {)}^4}$

是τ的椭圆模函数.

不完全 Beta 函数 B_x(p,q) 表示成

$B_x(p,q)=\frac{x^p}{p}{}_2{F}_1(p,1-q;p+1;x)$

完整的椭圆积分 K 和 E 如下给出

$K(k)=\frac{\pi }{2}{}_2{F}_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)$

$E(k)=\frac{\pi }{2}{}_2{F}_1(-\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)$

超几何方程

超几何函数满足的微分方程称为超几何方程，其形式为（参见广义超几何函数)

$z(z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}+a)(z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}+b)w=z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}(z\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}+c-1)w,w(z)={}_2{F}_1(a,b;c;z)$.

展开后，得

$z(1-z)\frac{{\mathrm{d}}^{2}w}{\mathrm{d}{z}^2}+[c-(a+b+1)z]\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}-abw=0.$

它有三个正则奇点：0, 1, ∞.

正则奇点 0 附近的解

超几何方程的Template:Link-en为

$\rho (\rho -1)+c\rho =0$

它的两个指标 Template:Mvar 是 0 和 1-Template:Mvar。

当 Template:Mvar不是整数时，超几何方程在 0 附近的两个线性无关的正则特解为：

${}_2{F}_1(a,b;c;z)\text{ and }{z}^{1-c}{}_2{F}_1(1+a-c,1+b-c;2-c;z)$

当 Template:Mvar 为 1 时，方程只有一个正则解。当 Template:Mvar 为其余整数时，另一个线性无关的正则特解涉及对数项。

事实上，当 Template:Mvar 为整数时，另一个线性无关的特解总可以选取为 [[Meijer G-函数|Meijer Template:Mvar-函数]]：

${}_2{F}_1(a,b;c;z)\text{ and }{G}_{2,2}^{2,0}(1-a,1-b;0,c-1;z),\text{ if }c\in {\mathbb{Z}}^{+}$

$z^{1-c}{}_2{F}_1(1+a-c,1+b-c;2-c;z)\text{ and }{G}_{2,2}^{2,0}(1-a,1-b;0,1-c;z),\text{ if }c\in {\mathbb{Z}}_0^{-}$

正则奇点 1 附近的解

只需作代换 Template:Mvar=1-Template:Mvar，方程变为：

$t(1-t)\frac{d^{2}w}{d{t}^2}+[1+a+b-c-(a+b+1)t]\frac{dw}{dt}-abw=0.$

当 Template:Mvar 不是整数时，两个线性无关的正则特解为：

${}_2{F}_1(a,b;1+a+b-c;1-z)\text{ and }(1-z{)}^{c-a-b}{}_2{F}_1(c-b,c-a;1-a-b+c;1-z)$

正则奇点 ∞ 附近的解

当 Template:Mvar 不是整数时，两个线性无关的正则特解为：

$z^{-a}{}_2{F}_1(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1})\text{ and }{z}^{-b}{}_2{F}_1(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}).$

李代数参数与连接关系

在讨论超几何方程的解的连接关系的时候，采用另外一套参数会更加方便。这组参数是根据方程在三个正则奇点处的指标之差来定义的。

$F_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)={}_2{F}_1(a,b;c;z)$

$\alpha =c-1,\beta =a+b-c,\mu =b-a$

$a=\frac{1+\alpha +\beta -\mu }{2},b=\frac{1+\alpha +\beta +\mu }{2},c=1+\alpha$

参数 Template:Mvar 称为李代数参数。

运用李代数参数，超几何方程在三个正则奇点处的正则解可以分别表示为：

$\text{At }0:F_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)\text{ and }{z}^{-\alpha }{F}_{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z)$

$\text{At }1:F_{\beta ,\alpha ,\mu }(1-z)\text{ and }(1-z{)}^{-\beta }{F}_{-\beta ,\alpha ,-\mu }(1-z)$

$\text{At }\mathrm{\infty }:(-z{)}^{\frac{-1-\alpha -\beta +\mu }{2}}{F}_{-\mu ,\beta ,-\alpha }(z^{-1})\text{ and }(-z{)}^{\frac{-1-\alpha -\beta -\mu }{2}}{F}_{\mu ,\beta ,\alpha }(z^{-1})$

从上面的表达式可见，李代数参数比起通常用的参数 Template:Mvar 的优势在于能够体现不同区域的解之间的对称性。

引入记号：

$G(m;n,p)=\frac{\pi }{\sin m\pi \mathrm{\Gamma }(n)\mathrm{\Gamma }(p)}=G(m;p,n)$

${𝐅}_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1+\alpha )}{F}_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)$

则超几何方程在不同区域的解的连接关系可以表示为：

${𝐅}_{\beta ,\alpha ,\mu }(1-z)=G(-\alpha ;a-\alpha ,b-\alpha ){𝐅}_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;a,b)z^{-\alpha }{𝐅}_{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z),$

$\begin{array}{ccc}(1-z{)}^{-\beta }{𝐅}_{-\beta ,\alpha ,-\mu }(1-z)& =& G(-\alpha ;1-a,1-b){𝐅}_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;b-\beta ,a-\beta )z^{-\alpha }{𝐅}_{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z)\\ & =& G(-\alpha ;1-a,1-b){𝐅}_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;1-(a-\alpha ),1-(b-\alpha ))z^{-\alpha }{𝐅}_{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z);\end{array}$

$(-z{)}^{-a}{𝐅}_{-\mu ,\beta ,-\alpha }(z^{-1})=G(-\alpha ;1-b,a-\alpha ){𝐅}_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;a,a-\beta )z^{-\alpha }{𝐅}_{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z),$

$\begin{array}{ccc}(-z{)}^{-b}{𝐅}_{\mu ,\beta ,\alpha }(z^{-1})& =& G(-\alpha ;1-a,b-\alpha ){𝐅}_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;b,b-\beta )z^{-\alpha }{𝐅}_{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z)\\ & =& G(-\alpha ;1-a,1-(a-\beta )){𝐅}_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;b,1-(a-\alpha ))z^{-\alpha }{𝐅}_{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z).\end{array}$

分别对比两组式子最后一个等号之后的部分，可以看出每组的两个式子之间的对称性。

完整的连接关系表称为 Kummer 表，上面四式是 Kummer 表的一部分。

积分表示

$\mathrm{B}(a,c-a){}_2{F}_1(a,b;c;z)=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{b-c}(t-1{)}^{c-a-1}(t-z{)}^{-b}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }(c)>\mathrm{\Re }(a)>0,|\arg (1-z)|<\pi$

式中的 Β 是beta函数。

证明

可以证明等号右边的表达式是超几何方程的解。再考虑这个解在 Template:Mvar=0 附近的性质，可以确定它的具体形式。

设

$p(a,b,c;t,z)=t^{b-c}(t-1{)}^{c-a-1}(t-z{)}^{-b-2},w(a,b,c;t,z)=(t-z{)}^{2}p(a,b,c;t,z);$

则

$\frac{\partial w}{\partial z}=b(t-z)p(a,b,c;t,z),\frac{{\partial }^{2}w}{\partial z^2}=b(b+1)p(a,b,c;t,z)$

$\begin{array}{cc}& z(1-z)\frac{{\partial }^{2}w}{\partial z^2}+[c-(a+b+1)z]\frac{\partial w}{\partial z}-abw\\ =& bp(a,b,c;t,z)\{z(1-z)(b+1)+[c-(a+b+1)z](t-z)-a(t-z{)}^2\}\\ =& bp(a,b,c;t,z)\{-a{t}^2+[c-(b-a+1)z]t+(b-c+1)z\}\\ =& bp(a,b,c;t,z)\{(b-c+1)(t-1)(t-z)+(c-a)t(t-z)+(-b-1)t(t-1)\}\\ =& b\frac{\partial }{\partial t}[t(t-1)(t-z)p(a,b,c;t,z)],\end{array}$

上式中的第二、三个等号可以通过直接展开大括号内的多项式乘积得到。上式两边分别对 Template:Mvar 从 1 到无穷大进行积分，等号右边为 0，于是我们证明了上面的积分表达式的确是超几何方程的解。

另一方面，利用二项式定理，积分表达式等号右边的部分可以按 Template:Mvar 展开成幂级数，故可知等号右边应取 Template:Mvar ₂Template:Mvar₁Template:Mvar 的形式（因为另一个线性无关的特解无法展开成幂级数），其中 Template:Mvar 为待定的常数。

对比积分表达式在 Template:Mvar=0 处的值与 Β 函数的定义，即可确定常数 Template:Mvar。

变换公式

分式线性变换

Pfaff 变换

Pfaff 变换将正则奇点 1 和 ∞ 交换（也就是将李代数参数中的 Template:Mvar 与 Template:Mvar 对换）：

${}_2{F}_1(a,b;c;z)=(1-z{)}^{-b}{}_2{F}_1(c-a,b;c;\frac{z}{z-1}),|\arg (1-z)|<\pi$

由 Template:Mvar 的对称性自然有：

${}_2{F}_1(a,b;c;z)=(1-z{)}^{-a}{}_2{F}_1(a,c-b;c;\frac{z}{z-1}),|\arg (1-z)|<\pi$

证明

Pfaff 变换可以根据超几何方程得到。事实上，令

$u=\frac{z}{z-1}=1+\frac{1}{z-1}$

则

$z=\frac{u}{u-1},(1-z{)}^a=(1-u{)}^{-a},\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}z}=-(1-u{)}^2,\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{z}^2}=-(1-u{)}^3$

$\begin{array}{cc}& z(1-z)\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{z}^2}[(1-z{)}^{-b}w]+[c-(a+b+1)z]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}[(1-z{)}^{-b}w]-ab(1-z{)}^{-b}w\\ =& (1-z{)}^{-b-1}\{z[b(b+1)+2b(1-z)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}+(1-z{)}^2\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{z}^2}]+[c-(a+b+1)z][b+(1-z)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}]-ab(1-z)\}w\\ =& (1-z{)}^{-b-1}\{z(1-z{)}^2\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{z}^2}+(1-z)[c-(a-b+1)z]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}+b(c-a)\}w\\ =& (1-u{)}^{b+1}\{-u(1-u)\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{u}^2}+2u\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}-(1-u)[c+(a-b+1)(1-u{)}^{-1}u]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}+b(c-a)\}w\\ =& -(1-u{)}^{b+1}\{u(1-u)\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{u}^2}+[c-(c-a+b+1)u]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}-b(c-a)\}w\end{array}$

取

$w={}_2{F}_1(c-a,b;c;u)$

由 Template:Mvar(Template:Mvar) 满足的超几何方程知等号右边为 0，再考虑函数 (1-Template:Mvar)^{Template:Mvar}Template:Mvar 在 Template:Mvar=0 附近的性质即可得到 Pfaff 变换的公式。

Euler 变换

Pfaff 变换可以导出 Euler 变换，它将李代数参数 Template:Mvar 变成 -Template:Mvar：

$\begin{array}{ccc}{}_2{F}_1(a,b;c;z)& =& (1-z{)}^{-b}{}_2{F}_1(c-a,b;c;\frac{z}{z-1})\\ & =& (1-z{)}^{-b}{(1-\frac{z}{z-1})}^{a-c}{}_2{F}_1(c-a,c-b;c;\frac{\frac{z}{z-1}}{\frac{z}{z-1}-1})\\ & =& (1-z{)}^{c-a-b}{}_2{F}_1(c-a,c-b;c;z),|\arg (1-z)|<\pi \end{array}$

Pfaff 变换和 Euler 变换都是分式线性变换的例子，这得名于等式两边的超几何函数的宗量的联系，参见莫比乌斯变换。

将上面提到的四个连接关系与 Pfaff 变换及 Euler 变换组合起来，就得到完整的 Kummer 表。

给定一组李代数参数(Template:Mvar,Template:Mvar,Template:Mvar)，(Template:Mvar,Template:Mvar,Template:Mvar) 及其轮换对应着 24 个不同但彼此关联的超几何函数（Template:Mvar_{Template:Mvar,Template:Mvar,Template:Mvar} 恒等于 Template:Mvar_{Template:Mvar,Template:Mvar,Template:Mvar}），利用前面提到的四个连接关系和 Pfaff 变换，它们中的任意一个可以通过任意另外两个表出。

例如 Euler 变换可以表示为：

$F_{\alpha ,\beta ,\mu }\stackrel{\text{Pfaff}}{\to }{F}_{\alpha ,\mu ,\beta }\equiv F_{\alpha ,\mu ,-\beta }\stackrel{\text{Pfaff}}{\to }{F}_{\alpha ,-\beta ,\mu }$

二次变换

下面是一个二次变换的例子：

${}_2{F}_1(a,b;2a;z)=(1-z{)}^{-\frac{b}{2}}{}_2{F}_1(a-\frac{b}{2},\frac{b}{2};a+\frac{1}{2};\frac{z^2}{4z-4}),|\arg (1-z)|<\pi$

二次变换得名于等号两边超几何函数宗量的联系（一个二次函数和一个莫比乌斯变换的组合）。

证明

仿照上面 Pfaff 变换的证明，有：

$\begin{array}{cc}& z(1-z)\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{z}^2}[(1-z{)}^{-\frac{b}{2}}w]+[c-(a+b+1)z]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}[(1-z{)}^{-\frac{b}{2}}w]-ab(1-z{)}^{-\frac{b}{2}}w\\ =& (1-z{)}^{-\frac{b}{2}-1}\{z[\frac{b}{2}(\frac{b}{2}+1)+b(1-z)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}+(1-z{)}^2\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{z}^2}]+[c-(a+b+1)z][\frac{b}{2}+(1-z)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}]-ab(1-z)\}w\\ =& (1-z{)}^{-\frac{b}{2}-1}\{z(1-z{)}^2\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{z}^2}+(1-z)[c-(a+1)z]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}+\frac{b}{4}[2(c-2a)+(2a-b)z]\}w\end{array}$

令

$c=2a,u=\frac{z^2}{4z-4}=\frac{1}{4}(z+1-\frac{1}{1-z})$

则

$1-u=\frac{(z-2{)}^2}{4(1-z)},\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}z}=\frac{z(z-2)}{4(1-z{)}^2},\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{z}^2}=-\frac{1}{2(1-z{)}^3}$

$\begin{array}{cc}& z(1-z{)}^2\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{z}^2}+(1-z)[c-(a+1)z]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}+\frac{b}{4}[2(c-2a)+(2a-b)z]\\ =& z(1-z{)}^2\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{z}^2}+(1-z)[2a-(a+1)z]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}+\frac{b}{2}(a-\frac{b}{2})z\\ =& \frac{z^3(z-2{)}^2}{16(1-z{)}^2}\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{u}^2}-\frac{z}{2(1-z)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}+\frac{z(z-2)(2a-az-z)}{4(1-z)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}+\frac{b}{2}(a-\frac{b}{2})z\\ =& -z\{u(1-u)\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{u}^2}+[a+\frac{1}{2}-(a+1)u]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}-\frac{b}{2}(a-\frac{b}{2})\}\end{array}$

取

$w={}_2{F}_1(a-\frac{b}{2},\frac{b}{2};a+\frac{1}{2};u)$

仿照上面关于 Pfaff 变换的讨论，可得二次变换的公式。

其它例子

运用李代数参数，一般的二次变换可以表示为

$F_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)=f(z)F_{{\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime },{\mu }^{\prime }}(g(z)),P(z)$

其中 Template:Mvar(Template:Mvar),Template:Mvar(Template:Mvar) 是 Template:Mvar 的函数， Template:Mvar(Template:Mvar) 表示 Template:Mvar 要满足的约束。

下表给出了一些二次变换。

李代数参数（左）	李代数参数（右）	$f(z)$	$g(z)$	$P(z)$
$\alpha ,\mu ,\mu$	$\frac{\alpha }{2},\mu ,\frac{1}{2}$	$(1-\frac{1}{2}z{)}^{-b}$	${\left(\frac{z}{2-z}\right)}^2$	$|\arg (1-z)|<\pi$
$\mu ,\beta ,\mu$	$\mu ,\frac{\beta }{2},\frac{1}{2}$	$(1+z{)}^{-b}$	$\frac{4z}{(1+z{)}^2}$	$|z|<1$
$\alpha ,\alpha ,\mu$	$\alpha ,\frac{\mu }{2},\frac{1}{2}$	$(1-2z{)}^{-b}$	$\frac{4z(z-1)}{(1-2z{)}^2}$	$\mathrm{\Re }z<\frac{1}{2}$

另外还有：

$\frac{2\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})\mathrm{\Gamma }(\frac{a+b+1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{a+1}{2})\mathrm{\Gamma }(\frac{b+1}{2})}{F}_{-\frac{1}{2},\beta ,\frac{\mu }{2}}(z)=F_{\beta ,\beta ,\mu }(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{z})+F_{\beta ,\beta ,\mu }(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{z}),|\arg z|<\pi ,|\arg (1-z)|<\pi$

将它们与 Kummer 表组合起来，就得到所有的含有两个独立参变量的二次变换关系式。例如上面的例子可以通过组合第一行中的变换与 Pfaff 变换得到。

另外还有一些只含有一个独立参变量的二次变换关系式。

三次及高次变换

若一组李代数参数满足下列条件：有两个是 ±1/3，或者三个参数的绝对值相等，则有一个三次变换的公式将它与另一个超几何函数联系起来。

另外有一些 4 次和 6 次变换的公式。其它次数的变换公式只有当参数取特定有理数值时存在。参见Template:Harvtxt。

特殊值

Template:Mvar=0

${}_2{F}_1(a,b;c;0)=1$

Template:Mvar=1

${}_2{F}_1(a,b;c;1)=\frac{\mathrm{B}(a,c-a-b)}{\mathrm{B}(a,c-a)}=\frac{\mathrm{\Gamma }(c)\mathrm{\Gamma }(c-a-b)}{\mathrm{\Gamma }(c-a)\mathrm{\Gamma }(c-b)},\mathrm{\Re }(c)>\mathrm{\Re }(a+b)$

这称为高斯原理（Gauss's theorem），可以由超几何函数的积分表示得到。范德蒙恒等式是它的特殊情形。

Template:Mvar=-1

${}_2{F}_1(a,b;1+a-b;-1)=\frac{\mathrm{\Gamma }(1+a-b)\mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{2}a)}{\mathrm{\Gamma }(1+a)\mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{2}a-b)}$

这可以通过组合上表中的第二个二次变换和 Pfaff 变换，并利用 Template:Mvar=1 时的特殊值得到。

Template:Mvar=1/2

${}_2{F}_1(a,b;\frac{1}{2}(1+a+b);\frac{1}{2})=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(1+a+b))}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(1+a))\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(1+b))}.$

${}_2{F}_1(a,1-a;c;\frac{1}{2})=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}c)\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(1+c))}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(c+a))\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(1+c-a))}.$

上面两式分别被称为高斯第二求和原理与 Balley 原理。它们都可以通过组合第三个二次变换和 Pfaff 变换，并利用 Template:Mvar=1 时的特殊值得到。

参考文献

• Template:Springer
• John Pearson, Computation of Hypergeometric Functions Template:Wayback (University of Oxford, MSc Thesis)
• Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, The book "A = B" (freely downloadable)
• Template:MathWorld
• Template:Dlmf
• Template:Cite journal