K函数

K函数是hyper阶乘函数在复数上的扩展，如同Γ函数是阶乘函数在复数上的扩展。 K函数的定义为：

$K(z)=(2\pi {)}^{(-z-1)/2}\exp [\left(\begin{array}{c}z\\ 2\end{array}\right)+\underset{0}{\overset{z-1}{\int }}\ln (t!)dt].$

还可以写成闭合形式：

$K(z)=\exp [{\zeta }^{\prime }(-1,z)-{\zeta }^{\prime }(-1)].$

其中，${\zeta }^{\prime }(z)$表示黎曼ζ函數的导函数，而${\zeta }^{\prime }(a,z)$则表示赫爾維茨ζ函数的导函数，即

${\zeta }^{\prime }(a,z)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\left[\frac{d\zeta (s,z)}{ds}\right]}_{s=a}.$

另一种使用多伽玛函数的表示形式是：

$K(z)=\exp ({\psi }^{(-2)}(z)+\frac{z^2-z}{2}-\frac{z}{2}\ln (2\pi )).$

或者使用广义多伽玛函数表示为：

$K(z)=A{e}^{\psi (-2,z)+\frac{z^2-z}{2}}.$

其中A表示格莱舍常数（Glaisher constant）。

K函数与Γ函数和巴尼斯G函数关系密切。对于自然数n，我们有：

$K(n)=\frac{(\mathrm{\Gamma }(n){)}^{n-1}}{G(n)}.$

还可以更简单地写为：

$K(n+1)=1^1{2}^2{3}^3\cdots n^n.$

前几项为：1、4、108、27648、86400000、4031078400000、3319766398771200000……(OEIS中的第A002109号数列).

相关条目

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外部链接

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