巴尼斯G函数

巴尼斯G函数是超级阶乘函数在复数上的扩展。它与Γ函数、K函数以及格莱舍常数（Glaisher constant）有关。以数学家欧尼斯特·巴尼斯（Ernest William Barnes）的名字命名。

巴尼斯G函数可以通用魏尔施特拉斯分解定理的形式定义为：

$G(z+1)=(2\pi {)}^{z/2}{e}^{-[z(z+1)+\gamma z^2]/2}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left[{(1+\frac{z}{n})}^n{e}^{-z+z^2/(2n)}\right].$

其中，γ表示欧拉-马歇罗尼常数。

差分方程、函数方程与特殊值

巴尼斯G函数满足差分方程

$G(z+1)=\mathrm{\Gamma }(z)G(z).$

特殊地，G(1)=1. 从此方程可推出G取整数自变量时有：

$G(n)=\{\begin{array}{cc}0& \text{if }n=0,-1,-2,\dots \\ \prod _{i=0}^{n-2}i!& \text{if }n=1,2,\dots \end{array}.$

因此，

$G(n)=\frac{(\mathrm{\Gamma }(n){)}^{n-1}}{K(n)}.$

其中，$\mathrm{\Gamma }(n)$表示Γ函数，$K(n)$表示K函数。

另外，在满足条件$\frac{d^3}{d{x}^3}G(x)\ge 0$时，差分方程唯一确定一个G函数。.

由G函数的差分方程和Γ函数的函数方程可以得到（由Hermann Kinkelin提出）：

$G(1-z)=G(1+z)\frac{1}{(2\pi {)}^z}\exp \underset{0}{\overset{z}{\int }}\pi x\cot \pi xdx.$

乘法公式

与Γ函数一样，G函数也有其乘法公式：$G(nz)=K(n)n^{n^2{z}^2/2-nz}(2\pi {)}^{-\frac{n^2-n}{2}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G(z+\frac{i+j}{n}).$

$G(nz)=K(n)n^{n^2{z}^2/2-nz}(2\pi {)}^{-\frac{n^2-n}{2}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G(z+\frac{i+j}{n}).$

其中K是一个常数，定义为：

$K(n)=e^{-(n^2-1){\zeta }^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac{5}{12}}\cdot (2\pi {)}^{(n-1)/2}=(A{e}^{-\frac{1}{12}}{)}^{n^2-1}\cdot n^{\frac{5}{12}}\cdot (2\pi {)}^{(n-1)/2}.$

其中${\zeta }^{\prime }$表示黎曼ζ函数的导函数，$A$则表示为格莱舍常数。

$\log G(z+1)$可渐近展开为（由巴尼斯提出）：

$\log G(z+1)=\frac{1}{12}-\log A+\frac{z}{2}\log 2\pi +(\frac{z^2}{2}-\frac{1}{12})\log z-\frac{3z^2}{4}+\sum _{k=1}^N\frac{B_{2k+2}}{4k(k+1)z^{2k}}+O\left(\frac{1}{z^{2N+2}}\right).$

其中$B_k$为伯努利数，$A$为格莱舍常数。（需要注意的是，在巴尼斯的时代，伯努利数$B_{2k}$习惯写成$(-1{)}^{k+1}{B}_k$。）

相关条目

• Γ函数
• K函数