高斯光束

高斯光束的瞬时辐照度電腦繪圖

场强（蓝色）和辐照度（黑色）在坐标轴上的分布情况

在光学中，高斯光束（Template:Lang-en）是横向电场以及辐照度分布近似满足高斯函数的电磁波光束。许多激光都近似满足高斯光束的条件，在这种情况中，激光在光谐振腔中以TEM₀₀波模（横向基模）传播。当它在满足近衍射极限的镜片中发生折射时，高斯光束会变换成另一种不同参数的高斯光束，因此，高斯光束是激光光学中一种方便、广泛应用的模型。

描述高斯光束的数学函数是亥姆霍兹方程的一个近轴近似解（属于小角近似的一种）。这个解具有高斯函数的形式，代表了光束中电场分量的复振幅。尽管电磁波的传播包括电场和磁场两部分，研究其中任一个场，就足以描述波在传播时的性质。

高斯光束中，场的行为可以通过几个参数加以刻画，如光斑大小，曲率半径，古依相移等。

亥姆霍兹方程的近轴近似解可能不止一个。笛卡尔坐标系下求解可得一类称为厄米-高斯模的解，在柱坐标中求解则得到一类称为拉盖尔-高斯模的解。对这两类解，最低阶都是高斯光束，高阶解则描述了光学谐振腔中的高阶横向模。

数学形式

高斯光束作为电磁波的横向电磁模，通过求解近轴亥姆霍兹公式，可得电场的振幅

$E(r,z)=E_0\frac{w_0}{w(z)}\exp \left(\frac{-r^2}{w^2(z)}\right)\exp (-ikz-ik\frac{r^2}{2R(z)}+i\zeta (z)),$

纳米激光器产生的激光

这里

$r$ 为径向坐标，以光轴中心为参考点

$z$ 为轴向坐标，以光轴上光波最狭窄（束腰）位置为参考点

$i$ 为虚数单位（即 $i^2=-1$）

$k=\frac{2\pi }{\lambda }$ 为波数（以“弧度/米”为单位）

$E_0=|E(0,0)|$

$w(z)$ 为当电磁场振幅降到轴向的1/e、强度降到轴向的1/e²的点的半径

$w_0=w(0)$ 为激光的束腰宽度

$R(z)$ 为光波波前的曲率半径

$\zeta (z)$ 为轴对称光波的 Gouy 相移，对高斯光束的相位也有影响

此外，上式中默认忽略了含时项 $e^{i\omega t}$ 。

对应的辐照度时域平均值为

$I(r,z)=\frac{|E(r,z){|}^2}{2\eta }=I_0{\left(\frac{w_0}{w(z)}\right)}^2\exp \left(\frac{-2r^2}{w^2(z)}\right),$

这里 $I_0=I(0,0)$ 为光波束腰中心处的辐照度。常数 $\eta$ 为光波所在传播介质中的Template:Link-en。在真空中，$\eta ={\eta }_0=\sqrt{\frac{{\mu }_0}{{\epsilon }_0}}=1/({\epsilon }_{0}c)\approx 376.7\mathrm{\Omega }$。

波束参数

高斯光束的许多性质由一系列波束参数决定，下面将分别予以介绍。

束腰

对于在自由空间传播的高斯光束，其Template:Link-en位置的半径在光轴方向总大于一个最小值 $w_0$，这个最小值被称为束腰（beam waist）。波长为 $\lambda$ 的光波的腰斑位置在 $z$ 轴上的分布为

$w(z)=w_0\sqrt{1+{\left(\frac{z}{z_{\mathrm{R}}}\right)}^2}.$

这里将 $z=0$ 定义为束腰的位置。

$z_{\mathrm{R}}=\frac{\pi w_0^2}{\lambda }$

被称为瑞利距离。

瑞利距离和共焦参数

与束腰轴向距离等于瑞利距离 $z_R$ 处的束宽为

$w(\pm z_{\mathrm{R}})=w_0\sqrt{2}.$

这两点之间的距离称作共焦参数或光束的焦深。

$b=2z_{\mathrm{R}}=\frac{2\pi w_0^2}{\lambda }.$

曲率半径

$R(z)$ 是光束波前的曲率半径，它是轴向距离的函数

$R(z)=z\left[1+{\left(\frac{z_{\mathrm{R}}}{z}\right)}^2\right].$

光束偏移

当 $z\gg z_{\mathrm{R}}$，参数 $w(z)$ 与 $z$ 呈线性关系，趋近于一条直线。这条直线与中央光轴的夹角被称为光束的“偏移”，它等于

$\theta \simeq \frac{\lambda }{\pi w_0}(\theta \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}).$

在远离束腰的位置，光束弯散的总角度为

$\mathrm{\Theta }=2\theta .$

由于这一性质，聚焦于一个小点的高斯激光在远离这个点的传播过程中迅速散开。为了保持激光的准直，激光束必须具有较大的直径。束宽和光束偏移的这一关系是由于衍射的缘故。非高斯光束同样会表现这一效应，但是高斯光束是一种特殊情况，其束宽和偏移的乘积是可能达到的最小值。

由于高斯光束模型使用了近轴近似，当波前与光传播方向倾斜程度大于30度之后，这种模型将不再适用。通过上述偏移的表达式，这意味着高斯光束模型仅对束腰大于 $2\lambda /\pi$ 的光束适用。

激光束的质量可以用Template:Link-en（BBP）来衡量。对于高斯光束，BBP 的数值就是光束的偏移量与束腰 $w_0$ 的乘积。实际光束的 BPP 通过计算光束的最小直径和远场偏移量的乘积来获得。在波长一定的情况下，实际光束的 BPP 数值与理想激光束的 BPP 数值的比值被称为“M²”。高斯光束的 M² 值为1，而所有的是激光束的 M² 值均大于1，并且质量越好的激光的 M² 值越接近1。

Gouy 相位

光束的轴向上的相位延迟，或称 Gouy 相位为

$\zeta (z)=\arctan \left(\frac{z}{z_{\mathrm{R}}}\right).$

当光束通过焦点时，除了正常情况下平面波的相移 $e^{-ikz}$ 外，多出一个额外的 Gouy 相移 $\pi$。

复数形式的光束参数

可以通过复数形式的光束参数 $q(z)$ 囊括光斑尺寸与曲率半径的信息，

$q(z)=z+q_0=z+i{z}_{\mathrm{R}}.$

倒数 $1/q(z)$ 显式提供了 $q(z)$，$w(z)$ 与 $R(z)$ 间的关系：

$\frac{1}{q(z)}=\frac{1}{z+i{z}_{\mathrm{R}}}=\frac{z}{z^2+z_{\mathrm{R}}^2}-i\frac{z_{\mathrm{R}}}{z^2+z_{\mathrm{R}}^2}=\frac{1}{R(z)}-i\frac{\lambda }{\pi w^2(z)}.$

光束参数的复数形式在高斯光束传播的分析中有着重要地位，特别是当使用光线传递矩阵分析光谐振腔中光束传播。

利用复数光束参数 $q$，具有一个横向维度的高斯光束电磁场与下式成比例

$u(x,z)=\frac{1}{\sqrt{q_x(z)}}\exp (-ik\frac{x^2}{2q_x(z)}).$

在二维的情况中，可以将散光的光束表达为乘积的形式

$u(x,y,z)=u(x,z)u(y,z),$

对于圆对称的普遍情况，$q_x=q_y=q$ 且$x^2+y^2=r^2$，可以得出

$u(r,z)=\frac{1}{q(z)}\exp (-ik\frac{r^2}{2q(z)}).$

功率和辐照度

流经孔隙的功率

流经距离 z 轴半径为r的圆的功率为

$P(r,z)=P_0[1-e^{-2r^2/w^2(z)}],$

这里

$P_0=\frac{1}{2}\pi I_0{w}_0^2$ 为电磁波传播的总能量

流经以 $r=w(z)$ 为半径的圆的能量占总能量的比值为

$\frac{P(z)}{P_0}=1-e^{-2}\approx 0.865.$

类似的，占光波总能量约90%的部分将流经半径为 $r=1.07\cdot w(z)$ 的圆形面积，总能量的95%通过 $r=1.224\cdot w(z)$ 的圆形面积，总能量的99%会通过 $r=1.52\cdot w(z)$ 的圆。

辐照度的峰值和平均值

在与束腰的轴向距离为 $z$ 的位置，利用洛必达法则，可以计算该位置的辐射照度峰值

$I(0,z)=\underset{r\to 0}{\lim }\frac{P_0[1-e^{-2r^2/w^2(z)}]}{\pi r^2}=\frac{P_0}{\pi }\underset{r\to 0}{\lim }\frac{[-(-2)(2r)e^{-2r^2/w^2(z)}]}{w^2(z)(2r)}=\frac{2P_0}{\pi w^2(z)}.$

可以看出，辐照度峰值为平均值的两倍，后者等于总能量除以半径为 $w(z)$ 的圆的面积。

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参考文献

• Template:Cite book Chapter 3, "Beam Optics," pp. 80–107.

• Template:Cite book Chapter 5, "Optical Beams," pp. 267.

• Template:Cite book Chapter 16.

• Template:Cite book

• Template:Cite arxiv

• Template:Cite journal
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• Gaussian Beam Propagation - CVI Melles Griot Technical Guide
• Gaussian Beam Optics Tutorial, Newport