電磁場的動力學理論

Template:NoteTA 《電磁場的動力學理論》（Template:Lang-en）是一篇詹姆斯·馬克士威發於1864年的論文，這篇論文是他所寫的第三篇關於電磁學的論文。在這篇論文裏，他首次系統性地陳列出馬克士威方程組。馬克士威又應用了先前在他的1861年論文《論物理力線》裏提出的位移電流的概念，來推導出電磁波方程式。由於這導引將電學、磁學和光學聯結成一個統一理論。這創舉現在已被物理學術界公認為物理學史的重大里程碑。

這篇論文明確地闡明，能量儲存於電磁場內。因此，它在歷史上首先建立了場論的基礎概念。

馬克士威原本的方程式

在這篇論文的標題為電磁場一般方程式的第三章裏，馬克士威列出了涉及二十個未知量的二十個方程式，在那時期，稱為馬克士威方程組。由於向量微積分尚在發展中，這二十個方程式都是以分量形式表示，其中，有十八個方程式可以用六個向量方程式集中表示（對應於每一個直角坐標，有一個方程式），另外剩下的兩個是純量方程式。所以，以向量標記，馬克士威方程組可以表示為八個方程式。1884年，從這八個方程式，奧利弗·黑維塞重新編排出四個方程式，並且稱這一組方程式為馬克士威方程組。今天廣泛使用的馬克士威方程組就是黑維塞編成的這一組方程式。

黑維塞版本的馬克士威方程組是以現代向量標記法寫出。在原先版本的八個方程式裏，只有一個方程式，高斯定律的方程式(G)，完整不變地出現於黑維塞版本。另外一個在黑維塞版本的方程式，乃是由總電流定律的方程式(A)與安培環路定理的方程式(C)共同湊合而成。這方程式包含了馬克士威的位移電流，是安培環路定理的延伸。

以向量標記，馬克士威方程組的原先版本的八個方程式，分別寫為

(A) 總電流定律

${𝐉}_{tot}=𝐉+\frac{\partial 𝐃}{\partial t}$ 、

(B) 磁場方程式

$\mu 𝐇=\mathrm{\nabla }\times 𝐀$ 、

(C) 安培環路定理

$\mathrm{\nabla }\times 𝐇={𝐉}_{tot}$ 、

(D) 勞侖茲力方程式

$𝐄=\mu 𝐯\times 𝐇-\frac{\partial 𝐀}{\partial t}-\mathrm{\nabla }\varphi$ 、

(E) 電彈性方程式

$𝐄=\frac{1}{ϵ}𝐃$ 、

(F) 歐姆定律

$𝐄=\frac{1}{\sigma }𝐉$ 、

(G) 高斯定律

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐃=\rho$ 、

(H) 連續方程式

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉=-\frac{\partial \rho }{\partial t}$ 。

標記符號：

$𝐇$ 是磁場強度，

$𝐉$ 是傳導電流密度，

${𝐉}_{tot}$ 是總電流密度（包括位移電流密度），

$𝐃$ 是電位移，

$\rho$ 是自由電荷密度，

$𝐀$ 是磁向量勢，

$𝐄$ 是電場，

$\varphi$ 是電勢，

$\mu$ 是磁導率，

$ϵ$ 是電容率，

$\sigma$ 是電導率 。

關於介質的性質，馬克士威並沒有試着處理比較複雜的狀況。他表述的主要是線性、均向性、非色散性物質；他也稍微談到一些有關異向性的晶體物質的問題。

值得注意的是，馬克士威將 $\mu 𝐯\times 𝐇$ 項目包括於他的合勢方程式(D)。這項目表達一個以速度 $𝐯$ 移動的導體所感受到的單位電荷的磁場力而產生的動生電動勢。這意味著合勢方程式(D)表達了勞侖茲力。這方程式最先出現為論文《論物理力線》的方程式(77)，比勞侖茲想到這問題早了很多年。現在，勞侖茲力方程式列為馬克士威方程組之外的額外方程式，並沒有被包括在馬克士威方程組裏面。

光波是電磁波

馬克士威，電磁學之父

在論文《電磁場的動力學理論》裏，馬克士威應用了的1861年論文《論物理力線》第三節裏對於安培環路定理的修正，將位移電流與其它已成立的電磁方程式合併，因而得到了描述電磁波的波動方程式。最令人振奮的是，這方程式所描述的波動的波速等於光波的速度。他於是說： Template:Quotation

馬克士威在對於光波是一種電磁現象的推導裏，並沒有使用法拉第電磁感應定律，而是使用方程式(D)來解釋電磁感應作用。由於不考慮導體的運動，項目 $\mu 𝐯\times 𝐇$ 可以被刪除。事實上，他的八個方程式裏，並沒有包括法拉第電磁感應定律方程式在內。

由於馬克士威的推導比較冗長，現代的教科書已不再採用這推導，改而選擇另一種比較簡易了解的推導，這推導主要是使用馬克士威-安培定律（安培環路定理的延伸）與法拉第電磁感應定律。

馬克士威的推導

假設電磁波是一個平面波，以波速 $V$ 向正z-軸的方向傳播於某介質，則描述此電磁波的每一個函數都擁有參數 $w=z-Vt$ 。根據磁向量定義式(B)，

$𝐁=-\hat{x}\frac{\partial A_y}{\partial z}+\hat{y}\frac{\partial A_x}{\partial z}$ ；

其中，$B\stackrel{def}{=}\mu 𝐇$ 是磁感應強度的定義式。

注意到 $B_z=0$ ， 還有，$𝐁$ 垂直於平面波的傳播方向，這電磁波是個橫波。

根據安培環路定理(C)，

${𝐉}_{tot}=-\hat{x}\frac{\partial H_y}{\partial z}+\hat{y}\frac{\partial H_x}{\partial z}=-\frac{1}{\mu }(\hat{x}\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial z^2}+\hat{y}\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial z^2})$ ；

假設介質是個絕緣體，傳導電流密度 $𝐉$ 等於零，則根據總電流定律(A)和電彈性方程式(E)，

${𝐉}_{tot}=\frac{\partial 𝐃}{\partial t}=ϵ\frac{\partial 𝐄}{\partial t}$ ；

假設導體的速度等於零，即動生電動勢項目等於零，則根據合勢方程式(D)，

$\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial z^2}-\mu ϵ\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial t^2}=0$ 、

$\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial z^2}-\mu ϵ\frac{{\partial }^2{A}_y}{\partial t^2}=0$ 。

再應用磁向量定義式(B)，就可以得到磁場的波動方程式：

$\frac{{\partial }^2{B}_x}{\partial z^2}-\mu ϵ\frac{{\partial }^2{B}_x}{\partial t^2}=0$ 、

$\frac{{\partial }^2{B}_y}{\partial z^2}-\mu ϵ\frac{{\partial }^2{B}_y}{\partial t^2}=0$ 。

鏈式法則要求

$\frac{\partial }{\partial z}=\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}$ 、

$\frac{\partial }{\partial t}=\frac{\partial w}{\partial t}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}=-V\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}$ 。

所以，

$\frac{{\mathrm{d}}^2{B}_x}{\mathrm{d}{w}^2}-\mu ϵV^2\frac{{\mathrm{d}}^2{B}_x}{\mathrm{d}{w}^2}=0$ 、

$\frac{{\mathrm{d}}^2{B}_y}{\mathrm{d}{w}^2}-\mu ϵV^2\frac{{\mathrm{d}}^2{B}_y}{\mathrm{d}{w}^2}=0$ 。

傳播的速度為

$V=1/\sqrt{\mu ϵ}$ 。

設定磁導率為磁常數 ${\mu }_0$ ，電容率為電常數 ${ϵ}_0$ ，則傳播速度是電磁波傳播於自由空間的速度。

類似地，應用合勢方程式(D)，可以得到電場的波動方程式：

$\frac{{\partial }^2{E}_x}{\partial z^2}-\mu ϵ\frac{{\partial }^2{E}_x}{\partial t^2}=0$ 、

$\frac{{\partial }^2{E}_y}{\partial z^2}-\mu ϵ\frac{{\partial }^2{E}_y}{\partial t^2}=0$ 、

$E_z=-\frac{\partial A_z}{\partial t}-\frac{\partial \varphi }{\partial z}$ 。

注意到，$E_z$ 可能不等於零。在尚未更清楚了解電荷密度的性質之前，馬克士威不排除電場波為縱波的可能性。

現代推導

在自由空間裏，黑維塞版的馬克士威方程組的四個微分方程式為

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=0$ 、(1)

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$ 、(2)

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$ 、(3)

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}$ ；(4)

其中，${\mu }_0$ 是磁常數，${\epsilon }_0$ 是電常數。

分別取公式 (2) 、(4) 的旋度，

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)=-\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\times 𝐁)=-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2𝐄}{\partial t^2}$ 、

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\times 𝐄)=-{\mu }_o{\epsilon }_o\frac{{\partial }^2𝐁}{\partial t^2}$ 。

應用一則向量恆等式

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐙)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐙)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐙$；

其中，$𝐙$ 是任意向量函數。

將公式 (1) 、(3) 代入，即可得到波動方程式：

$({\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})𝐄=0$ 、(5)

$({\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})𝐁=0$ ；(6)

其中，$c=c_0=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}=2.99792458\times 10^8$ ［公尺／秒］是電磁波傳播於自由空間的速度。

參閱

• 《論法拉第力線》
• 電磁波方程式
• 弯曲时空中的麦克斯韦方程组
• 非齊次的電磁波方程
• 馬克士威應力張量
• 麦克斯韦方程组的历史
• 電磁學與經點光學時間表(Template:Lang)

參考文獻

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• Template:Citation
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