雙調和方程式

Template:Unreferenced 在數學中，雙調和方程是一個四階偏微分方程式，出現在連體力學，包括線性彈性理論和史托克流的解。寫成

${\mathrm{\nabla }}^4\phi =0$${\displaystyle }$

或

${\mathrm{\nabla }}^2{\mathrm{\nabla }}^2\phi =0$${\displaystyle }$

或

${\mathrm{\Delta }}^2\phi =0$${\displaystyle }$

 ${\mathrm{\nabla }}^4$ 為四階的 Nabla算子，或是拉普拉斯算子的平方，稱為雙調和算子。 在 n 維座標下，以爱因斯坦求和约定可寫成 ${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$

${\mathrm{\nabla }}^4\phi =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\partial }_i{\partial }_i{\partial }_j{\partial }_j\phi .$${\displaystyle }$

例如，在三維笛卡兒坐標系的雙調和方程式寫做

$\frac{{\partial }^4\phi }{\partial x^4}+\frac{{\partial }^4\phi }{\partial y^4}+\frac{{\partial }^4\phi }{\partial z^4}+2\frac{{\partial }^4\phi }{\partial x^2\partial y^2}+2\frac{{\partial }^4\phi }{\partial y^2\partial z^2}+2\frac{{\partial }^4\phi }{\partial x^2\partial z^2}=0.$${\displaystyle }$

另外一個例子，在 n-维歐幾里得空間，

${\mathrm{\nabla }}^4\left(\frac{1}{r}\right)=\frac{3(15-8n+n^2)}{r^5}$${\displaystyle }$

其中

$r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}.$${\displaystyle }$

在 n=3 和 n=5  才能行成雙調和方程式。

雙調和方程式的解為雙調和函數。任何調和函數都是雙調和函數，但雙調和函數不一定是調和函數。 在二維極坐標中，雙調和方程為

$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial \phi }{\partial r}\right)\right)\right)+\frac{2}{r^2}\frac{{\partial }^4\phi }{\partial {\theta }^2\partial r^2}+\frac{1}{r^4}\frac{{\partial }^4\phi }{\partial {\theta }^4}-\frac{2}{r^3}\frac{{\partial }^3\phi }{\partial {\theta }^2\partial r}+\frac{4}{r^4}\frac{{\partial }^2\phi }{\partial {\theta }^2}=0$

可用分離變數法求解，其解為 Template:Tsl 。