隐函数

Template:Unreferenced Template:NoteTA Template:微積分學 在數學中，隱式方程（Template:Lang-en）是形同$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=0$的關係，其中$f$是多元函數。比如單位圓的隱式方程是$x^2+y^2-1=0$。

隱函数（Template:Lang）是由隱式方程間接定義的函數，比如 $y=\sqrt{1-x^2}$ 是由 $x^2+y^2-1=0$ 確定的函數。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如$y=\cos (x)$。

隱函數定理說明了隱式方程在什麼情況下會給出定義良好的隱函數。

例子

反函数

隐函数的一个常见类型是反函数。若$f$是一个函数，那么$f$的反函数记作$f^{-1}$, 是给出下面方程解的函数

$x=f(y)$

用$x$表示$y$。这个解是

$y=f^{-1}(x).$

直观地，通过交换f自变量和因变量的位置就可以得到反函数。换一种说法，反函数给出该方程对于$y$的解

$R(x,y)=x-f(y)=0.$

例子

1. 对数函数 $\ln x$ 给出方程$x-e^y=0$或等价的$x=e^y$的解$y=\ln x$。 这里$f(y)=e^y$并且$f^{-1}(x)=\ln x$。
2. 朗伯W函數則可以解出$x-y{e}^y=0$的$y$值。

代数函数

Template:Main 一个代数函数是满足自身多项式系数的多项式方程的函数。例如，单变量 $x$ 的代数函数给出一个方程中 $y$ 的解。

$a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_0(x)=0$

其中係數 $a_i(x)$ 為 $x$ 的多項式函數。

代數函數在數學分析和代数几何中扮演重要角色，我們再拿單位圓方程式來當作代數函數的範例：

$x^2+y^2-1=0.$

那麼 $y$ 的顯函數解顯然是：

$y=\pm \sqrt{1-x^2}$

但其實我們不一定要把它的顯函數解寫出來，它也可以直接利用隱函數來表達。

對於$y$的二次、三次和四次方程，可以找到只包含有限次四則運算和開方運算的顯函數解，但這并不适用于包括五次在内的更高次数的方程（參見阿贝尔-鲁菲尼定理），例如：

$y^5+2y^4-7y^3+3y^2-6y-x=0.$

但是，我们仍然可以以隐函数$y=g(x)$的方式来表达。

隱函數的导数

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：

方法一

• 把$n$元隐函数看作$(n+1)$元函数，通过多元函数的偏导数的商求得$n$元隐函数的导数。

示例

把一元隐函数$y=g(x)$看作二元函数$f(x,y)=0$，若欲求$\frac{dy}{dx}$，對$f$取全微分，可得$df(x,y)=f_{x}dx+f_{y}dy=0$，經過移項可得$\frac{dy}{dx}=-\frac{f_x}{f_y}$

（式中$f_x$表示$f(x,y)$關於$x$的偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}$，以此類推）。

把2元隐函数$y=g(x,z)$看作3元函数$f(x,y,z)=0$，若欲求$\frac{\partial y}{\partial x}$，對$f$取全微分，可得$df(x,y,z)=f_{x}dx+f_{y}dy+f_{z}dz=0$ 。

由於所求為$\frac{\partial g(x,z)}{\partial x}$，令z為常數，即$dz=0$，經過移項可得$\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{f_x}{f_y}$

方法二

• 針對1元隱函數，把$y$看作$x$的函数，利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对$x$求导，再通过移项求得$\frac{dy}{dx}$的值。
• 針對2元隱函數，把$y,z$看作$x$的函数，利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对$x$求导，令$dz=0$，再通过移项求得$\frac{\partial y}{\partial x}$的值。

示例

• 針對$y^n$：

$\frac{d}{dx}{y}^n=n\cdot y^{n-1}\frac{dy}{dx}$

• 針對$x^m{y}^n$：

$\frac{d}{dx}{x}^m{y}^n=n\cdot x^m{y}^{n-1}\frac{dy}{dx}+m\cdot x^{m-1}{y}^n$

• 求$12x^7-7x^4{y}^3+6x{y}^5-14y^6+25=10$中y對x的導數。

為了方便辨別相應的導數部分，各項都以不同顏色分開（常數則以黑色表示）。

$12x^7-7x^4{y}^3+6x{y}^5-14y^6+25=10$

1.兩邊皆取其相應的導數，得出

$12\cdot 7x^6-7(3x^4{y}^2\frac{dy}{dx}+4x^3{y}^3)+6(5x{y}^4\frac{dy}{dx}+y^5)-14\cdot 6y^5\frac{dy}{dx}+0=0$

2.移項處理。

$84x^6-28x^3{y}^3+6y^5=21x^4{y}^2\frac{dy}{dx}-30x{y}^4\frac{dy}{dx}+84y^5\frac{dy}{dx}$

3.提出導數因子。

$84x^6-28x^3{y}^3+6y^5=\left(21x^4{y}^2-30x{y}^4+84y^5\right)\left(\frac{dy}{dx}\right)$

4.移項處理。

$\frac{dy}{dx}=\frac{84x^6-28x^3{y}^3+6y^5}{21x^4{y}^2-30x{y}^4+84y^5}$

5.完成。得出其導數為$\frac{84x^6-28x^3{y}^3+6y^5}{21x^4{y}^2-30x{y}^4+84y^5}$。

6.選擇性步驟：因式分解。

$\frac{dy}{dx}=\frac{2(42x^6-14x^3{y}^3+3y^5)}{3y^2(7x^4-10x{y}^2+28y^3)}$

參見

• 反函數