貝爾特拉米等式

貝爾特拉米等式是變分法中的一等式，由貝爾特拉於1868年發現。它所表達的是，若函數u是以下積分的極值

I (u) = \int_{a}^{b} L (x, u, u^{'}) d x

則符合以下微分方程：

\frac{d}{d x} (L - u^{'} \frac{\partial L}{\partial u^{'}}) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0 .

若L是力學系統中的拉格朗日量，且L並非x的顯函數，即拉格朗日量並非時間的顯函數，那麼，貝爾特拉米等式表明其哈密頓量是一守恆能量。

証明

定義共軛動量p為L的偏微分

p = \frac{\partial L}{\partial u^{'}}

\frac{d p}{d x} - \frac{\partial L}{\partial u} = 0

即

p^{'} = \frac{\partial L}{\partial u}

再定義哈密頓量H為L之勒壤得轉換：

H = p u^{'} - L

則

H^{'} = \frac{d H}{d x} = p^{'} u^{'} + p u^{″} - \frac{\partial L}{\partial u^{'}} u^{″} - \frac{\partial L}{\partial u} u^{'} - \frac{\partial L}{\partial x}

其中第二及第三項相抵，根據p之定義及歐拉-拉格朗日方程，第一及第四項亦相抵，所以給出貝爾特拉米等式：

H^{'} = - \frac{\partial L}{\partial x}

此亦是諾特定理的特例。

若L獨立於x，則貝爾特拉米等式說明H為一常數：

- H^{'} = \frac{d}{d x} (L - u^{'} \frac{\partial L}{\partial u^{'}}) = 0

此可用作求歐拉-拉格朗日方程的解，如同用能量守恆律解牛頓力學一樣。H為常數給出u的一階導數方程，而歐拉-拉格朗日方程則為u的二階導數方程。

例如最速降線問題，求最小化以下積分之曲線：

\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1 + y'^{2}}}{\sqrt{y}} d x

其中，將積分最小化的函數L與時間無關，

L (y, y^{'}) = \frac{\sqrt{1 + y'^{2}}}{\sqrt{y}}

故此相關之哈密頓量為常數：

H = p y^{'} - L = \frac{y'^{2}}{\sqrt{1 + y'^{2}} \sqrt{y}} - \frac{\sqrt{1 + y'^{2}}}{\sqrt{y}} = \frac{- 1}{\sqrt{1 + y'^{2}} \sqrt{y}}

\sqrt{1 + y'^{2}} \sqrt{y} = constant

所以前述方程轉化為擺線之微分方程。