歐拉-拉格朗日方程

Template:NoteTA 歐拉-拉格朗日方程（Template:Lang-en）為變分法中的一條重要方程。它是一个二阶偏微分方程。它提供了求泛函的臨界值（平穩值）函數，換句話說也就是求此泛函在其定義域的臨界點的一個方法，與微積分差異的地方在於，泛函的定義域為函數空間而不是 ${ℝ}^n$。

该方程由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉与意大利数学家约瑟夫·拉格朗日在1750年代提出。

第一方程

設$f=f(x,y,z)$，以及$f_y,f_z$在$[a,b]\times {ℝ}^2$中連續，並設泛函

$J(y)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y(x),y^{\prime }(x))dx$。

若$y\in C^1[a,b]$使得泛函$J(y)$取得局部平穩值，則對於所有的$x\in (a,b)$，

$\frac{d}{dx}\frac{\partial }{\partial y^{\prime }}f(x,y,y^{\prime })=\frac{\partial }{\partial y}f(x,y,y^{\prime })$。

推廣到多維的情況，記

$\overrightarrow{y}(x)=(y_1(x),y_2(x),\dots ,y_n(x))$，

${\overrightarrow{y}}^{\prime }(x)=(y{\text{'}}_1(x),y{\text{'}}_2(x),\dots ,y{\text{'}}_n(x))$，

$f(x,\overrightarrow{y},{\overrightarrow{y}}^{\prime })=f(x,y_1(x),y_2(x),\dots ,y_n(x),y{\text{'}}_1(x),y{\text{'}}_2(x),\dots ,y{\text{'}}_n(x))$。

若${\overrightarrow{y}}^{\prime }(x)\in (C^1[a,b]{)}^n$使得泛函$J(\overrightarrow{y})=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,\overrightarrow{y},{\overrightarrow{y}}^{\prime })dx$取得局部平穩值，則在區間$(a,b)$內對於所有的$i=1,2,\dots ,n$，皆有

$\frac{d}{dx}\frac{\partial }{\partial y{\text{'}}_i}f(x,\overrightarrow{y},{\overrightarrow{y}}^{\prime })=\frac{\partial }{\partial y_i}f(x,\overrightarrow{y},{\overrightarrow{y}}^{\prime })$。

第二方程

設$f=f(x,y,z)$，及$f_y,f_z$在$[a,b]\times {ℝ}^2$中連續，若$y\in C^1[a,b]$使得泛函$J(y)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y(x),y^{\prime }(x))dx$取得局部平穩值，則存在一常數$C$，使得

$f(x,y,y^{\prime })-y^{\prime }(x)f_{y{}^{\prime }}(x,y,y^{\prime })=\underset{a}{\overset{x}{\int }}{f}_x(x(t),y(t),y^{\prime }(t))dt+C$。

例子

例一：两点之间最短曲线

設$(0,0)$及$(a,b)$為直角坐標上的兩個固定點，欲求連接兩點之間的最短曲線。設$(x(t),y(t))(t\in [0,1])$，並且

$(x(0),y(0))=(0,0),(x(1),y(1))=(a,b)$；

這裏，$(x(t),y(t))\in C^1[0,1]$為連接兩點之間的曲線。則曲線的弧長為

$L(y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt$。

現設

$\overrightarrow{y}(t)=(x(t),y(t))$，

$f(t,\overrightarrow{y}(t),{\overrightarrow{y}}^{\prime }(t))=\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}$，

取偏微分，則

$f_{x^{\prime }}=\frac{x^{\prime }(t)}{\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}}$，

$f_{y^{\prime }}=\frac{y^{\prime }(t)}{\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}}$，

$f_x=f_y=0$。

若$y$使得$L(y)$取得局部平穩值，則$y$符合第一方程：

$\frac{d}{dt}{f}_{x^{\prime }}(t,y,y^{\prime })=f_x(t,y,y^{\prime })=0$，

$\frac{d}{dt}{f}_{y^{\prime }}(t,y,y^{\prime })=f_y(t,y,y^{\prime })=0$。

因此，

$\frac{d}{dt}\frac{x^{\prime }}{\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}}=0$，

$\frac{d}{dt}\frac{y^{\prime }}{\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}}=0$。

隨$t$積分，

$\frac{x^{\prime }}{\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}}=C_0$，

$\frac{y^{\prime }}{\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}}=C_1$；

這裏，$C_0,C_1$為常數。重新編排，

$x^{\prime }=\sqrt{\frac{C_0^2}{1-C_0^2}}=r$，

$y^{\prime }=\sqrt{\frac{C_1^2}{1-C_1^2}}=s$。

再積分，

$x(t)=rt+r^{\prime }$，

$y(t)=st+s^{\prime }$。

代入初始條件

$(x(0),y(0))=(0,0)$，

$(x(1),y(1))=(a,b)$；

即可解得$(x(t),y(t))=(at,bt)$，是連接兩點的一條線段。

另經過其他的分析，可知此解為唯一解，並且該解使得$L(y)$取得極小值，所以在平面上連結兩點間弧長最小的曲線為一直線。

例二：两点之间最短曲线的另一种求解

另一个例子同样是求定义在区间[a, b]上的实值函数y满足y(a) = c与y(b) = d，并且沿着y所定义的曲线的道路长度最短。

$s=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+y{\text{'}}^2}\mathrm{d}x,$

被积函数为

$L(x,y,y^{\prime })=\sqrt{1+y{\text{'}}^2}$

L的偏导数为

$\frac{\partial L(x,y,y^{\prime })}{\partial y^{\prime }}=\frac{y^{\prime }}{\sqrt{1+y{\text{'}}^2}}$

以及

$\frac{\partial L(x,y,y^{\prime })}{\partial y}=0.$

把上面两式代入欧拉-拉格朗日方程，可以得到

$\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{y^{\prime }(x)}{\sqrt{1+(y^{\prime }(x){)}^2}}& =0\\ \frac{y^{\prime }(x)}{\sqrt{1+(y^{\prime }(x){)}^2}}& =C=\text{constant}\\ \Rightarrow y^{\prime }(x)& =\frac{C}{\sqrt{1-C^2}}:=A\\ \Rightarrow y(x)& =Ax+B\end{array}$

也就是说，该函数的一阶导数必须为常值，因此其图像为直线。

參閱

• 拉格朗日方程式
• 變分法
• 作用量
• 哈密頓原理

參考書籍

• Troutman, John L. Variational Calculus and Optimal Control, 2nd edition, (Springer, 1995), ISBN 978-0387945118.