勒壤得轉換

xy-圖展示出函數 $f(x)$ 的勒壤得轉換。函數用紅色表示，在切點 $(x_0,f(x_0))$ 的切線用藍色表示。切線與 y-軸相交於點 $(0,-f^{*})$ ；這裏，$f^{*}$ 是勒壤得轉換 $f^{*}(p_0)$ 的值，$p_0=\dot{f}(x_0)$ 。特別注意，穿過在紅線上任何其它點，而擁有同樣斜率 $\dot{f}(x_0)$ 的直線，其與 y-軸相交點必定比點 $(0,-f^{*})$ 高，證明 $f^{*}$ 確實是極大值。

勒壤得轉換（Template:Lang-en）是一個在數學和物理中常見的技巧，得名於阿德里安-馬里·勒壤得（Adrien-Marie Legendre）。该操作是一个实变量的实值凸函数的对合变换。它经常用于经典力学中从拉格朗日形式到哈密顿形式的推导、热力学中热力学势的推导以及多变量微分方程的求解。

概述

為了研究一個系統內部蘊藏的數學結構，表述此系統的函數關係 $f(x)$ 改用一個新函數 $f^{\star }(p)$ 來表示，其變數 $p$ 是 $f(x)$ 的導數，$p=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ 。而 $f^{\star }(p)$ 的值是如右圖藍線在 y 軸的负截距

換句話說，從$(x,f(x))$ x 值到 y 值的函數，轉換成$(p,f^{\star }(p))$ f(x) 在 x 點的導數到在 x 點切線 y 截距的函數

這程序是由阿德里安-馬裡·勒壤得所發明的，因此稱為勒壤得轉換。稱函數 $f^{\star }(p)$ 為 $f(x)$ 的勒壤得轉換；

用方程式表示

$f^{\star }(p)=pu-f(u){|}_{\frac{\mathrm{d}[pu-f(u)]}{\mathrm{d}u}=0}$ 。

此式子表示 $f^{\star }(p)=pu-f(u)$ 中的 u 對 $f^{\star }(p)$ 而言是個參數，且參數 u 會滿足 $\frac{\mathrm{d}[pu-f(u)]}{\mathrm{d}u}=0$ 的 $u$。即求算表達式關於變數 $u$ 的極值。

為方便討論，把討論限定在 $f(x)$為嚴格單調遞增。會有這方程式是因為在 $p=f^{\prime }(x_0)$ 也就是斜率不變的狀況下，對每個$x_0$而言，所有與曲線$(u,f(u))$相交且斜率為$f^{\prime }(x_0)$的直線族為 $y=f^{\prime }(x_0)(x-u)+f(u)$。若令$u=x_0$，該直線即是$f(x)$在$x_0$的切線方程式。把x當作常數並由右圖直接觀察可知，在$u=x_0$的情況下，$y=f^{\prime }(x_0)(x-u)+f(u)=f^{\prime }(x_0)x-[f^{\prime }(x_0)u-f(u)]$值是最小的，也就是說直線方程式中$[f^{\prime }(x_0)u-f(u)]$這部分是最大的，而正好 $f^{\star }(p)=pu-f(u){|}_{\frac{\mathrm{d}[pu-f(u)]}{\mathrm{d}u}=0}$，正是原方程式所求的極值。

勒壤得轉換是點與線之間對偶性關係（Template:Lang）的一個應用。函數 $f(x)$ 設定的函數關係可以用 $(x,y=f(x))$ 點集合來表示；也可以用切線(在嚴格單調遞增的討論下，切線跟導數p有一對一的關係)集合表示。

若將勒壤得轉換廣義化，則會變為勒壤得-芬伽轉換（Template:Lang）。勒壤得轉換時常用於熱力學與哈密頓力學。

定義

给定区间Template:Math和凸函数Template:Math，则其勒让德变换为函数Template:Math，

$f^{*}(x^{*})=\underset{x\in I}{\sup }(x^{*}x-f(x)),x^{*}\in I^{*}$

其中$\sup$表示上确界，定义域$I^{*}$为

$I^{*}=\{x^{*}\in ℝ:\underset{x\in I}{\sup }(x^{*}x-f(x))<\mathrm{\infty }\}.$

当Template:Math为凸函数时，这个函数有良好的定义。

不难将勒让德变换推广到定义在凸集Template:Math 上的凸函数Template:Math：其变换Template:Math为定义在

$X^{*}=\{x^{*}\in {ℝ}^n:\underset{x\in X}{\sup }(⟨x^{*},x⟩-f(x))<\mathrm{\infty }\}$

上的函数

$f^{*}(x^{*})=\underset{x\in X}{\sup }(⟨x^{*},x⟩-f(x)),x^{*}\in X^{*},$

其中$⟨x^{*},x⟩$表示Template:Math和 Template:Mvar的点积。

从导数的角度理解勒让德变换

对于实轴上具有可逆一阶导数的凸函数$f$，其勒让德变换 $f^{*}$的一阶导数与$f$的一阶导数互为反函数，反过来说，这个条件可以给出至多相差一个常数的$f^{*}$。

最大值式定義

更詳細地定義勒壤得轉換，為了求得 $L(x,p)=px-f(x)$ 關於 $x$ 的最大值，設定 $L(x,p)$ 關於 $x$ 的偏導數為零：

$\frac{\partial }{\partial x}(px-f(x))=p-\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}=0$ 。

則

$p=\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}$ 。(1)

這表達式必為最大值。因為，凸函數 $L(x,p)$ 的二阶导数是負數：

$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}(xp-f(x))=-\frac{{\mathrm{d}}^{2}f(x)}{\mathrm{d}{x}^2}<0$ ；

用方程式 (1) 來計算函數 $f$ 的反函數 $x=g(p)$ 。代入 $L(x,p)$ 方程式，即可以得到想要的形式：

$f^{\star }(p)=g(p)p-f(g(p))$ 。

計算 $f(x)$ 的勒壤得轉換，所需的步驟為：

1. 找出导函數 $p=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ ，
2. 計算导函數 $p=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ 的反函數 $x=g(p)$ ，
3. 代入 $F(x)$ 方程式來求得新函數 $f^{\star }(p)=g(p)p-f(g(p))$ 。

這定義切確地闡明：勒壤得轉換製造出一個新函數 $f^{\star }(p)$ ；其新自變數為 $p=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ 。

反函數式定義

另外一種勒壤得轉換的定義是：假若兩個函數 $f(x)$ 與 $f^{\star }(p)$ 的一階導數是互相的反函數；

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)={\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}{f}^{*}\right)}^{-1}(x)$ ，

或者，

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}{f}^{*}(p)={\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f\right)}^{-1}(p)$ ，

則 $f$ 與 $f^{\star }$ 互相為彼此的勒壤得轉換。

依照定義，

$\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}=p$ ，

$\frac{\mathrm{d}{f}^{\star }(p)}{\mathrm{d}p}=x$ 。

思考下述運算：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}(xp-f(x))=x+p\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}p}-\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}p}=x=\frac{\mathrm{d}{f}^{\star }(p)}{\mathrm{d}p}=x$ 。

所以，

$f^{\star }(p)=xp-f(x)=g(p)p-f(g(p))$ ；

這裏，$x=g(p)$ 。

這答案是標準答案；但並不是唯一的答案。設定

$f^{\star }(p)=f(x)-xp$ ，

也可以滿足定義的要求。在某些情況下（例如：熱力勢（Template:Lang），會採用非標準的答案。除非另外註明，此頁面一律採用標準答案。

數學性質

以下討論，函數 $f$ 的勒壤得轉換皆標記為 $f^{\star }$ 。

標度性質

勒壤得轉換有以下這些標度性質：

$f(x)=a\cdot g(x)\to f^{\star }(p)=a\cdot g^{\star }\left(\frac{p}{a}\right)$ ，

$f(x)=g(a\cdot x)\to f^{\star }(p)=g^{\star }\left(\frac{p}{a}\right)$ ，

由此可知，一個 $r$ 次齊次函數的勒壤得轉換是一個 $s$ 次齊次函數；這裏，

$\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=1$ 。

平移性質

$f(x)=g(x)+b\to f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-b$ ，

$f(x)=g(x+y)\to f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-p\cdot y$ 。

反演性質

$f(x)=g^{-1}(x)\to f^{\star }(p)=-p\cdot g^{\star }\left(\frac{1}{p}\right)$ 。

線形變換性質

讓 $A$ 成為一個從 $R^n$ 到 $R^m$ 的線形變換。對於任何定義域為 $R^n$ 的凸函數 $f$ ，必有

${\left(Af\right)}^{\star }=f^{\star }{A}^{\star }$ ；

這裏，$A^{\star }$ 是 $A$ 的伴隨算子定義為

$⟨Ax,y^{\star }⟩=⟨x,A^{\star }{y}^{\star }⟩$ 。

例子

例一

e^x（红色实线）与其勒让德变换（蓝色虚线）。

指数函数

$f(x)=e^x$

的勒让德变换为

$f^{*}(p)=p(\ln p-1)$，

因为它们的一阶导数 Template:Math与 Template:Math互为反函数。

應用

勒壤得轉換

熱力學

在熱力學裏，使用勒壤得轉換主要的目的是，將一個函數與所含有的一個自變數，轉換為一個新函數與所含有的一個新自變數，（此新自變數是舊函數對於舊自變數的偏導數）；將舊函數減去新自變數與舊自變數的乘積，得到的差就是新函數。勒壤得轉換可以用來在各種熱力勢（Template:Lang）之間作轉換。例如，內能 $U$ 是外延量（Template:Lang）熵 $S$ ，體積 $V$ ，與化學成份（Template:Lang）$N_i$ 的顯函數

$U=U(S,V,\{N_i\})$ 。

對於 $-PV$ ，函數 $U$ （非標準的）勒壤得轉換為焓函數 $H$ ：

$H(S,P,\{N_i\})=U+PV$ ，

$P=-{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_{S,\{N_i\}}$ 。

一個熵與內含量（Template:Lang）壓力的函數。當壓力是常數時，這函數很有用。

對於 $TS$ ，函數 $H$ 勒壤得轉換為吉布斯能函數 $G$ :

$G(T,P,\{N_i\})=H-TS$ ，

$T={\left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)}_{P,\{N_i\}}$ 。

對於 $TS$ ，函數 $U$ 勒壤得轉換為亥姆霍兹自由能函數 $A$ :

$A(T,V,\{N_i\})=U-TS$ ，

$T={\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)}_{V,\{N_i\}}$ 。

這些自由能函數時常用在常溫的物理系統。

古典力學(哈密頓力學)

在經典力學裏，勒壤得轉換專門用來從拉格朗日表述導引出哈密頓表述，或反導之。拉格朗日量 $ℒ$ 是廣義坐標 $𝐪=(q_1,q_2,\dots ,q_N)$ 與廣義速度 $\dot{𝐪}$ 的函數；而哈密頓量 $\mathscr{H}$ 將函數的自變量轉換為廣義坐標 $𝐪$ 與廣義動量 $𝐩=(p_1,p_2,\dots ,p_N)$ ：

$𝐩=\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{𝐪}}$ ，

$\mathscr{H}(𝐪,𝐩,t)=𝐩\cdot \dot{𝐪}-ℒ(𝐪,\dot{𝐪}(𝐪,𝐩,t),t)$ 。

正則變換

正則變換廣泛地應用勒壤得轉換在其理論裏。正則變換是一種正則坐標的改變，$(𝐪,𝐩)\to (𝐐,𝐏)$ ，而同時維持哈密頓方程式的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換的方程式為

$\frac{\partial 𝒦}{\partial 𝐏}=\dot{𝐐}$ ，

$\frac{\partial 𝒦}{\partial 𝐐}=-\dot{𝐏}$ ，

$𝐩\cdot \dot{𝐪}-\mathscr{H}=𝐏\cdot \dot{𝐐}-𝒦+\frac{dG}{dt}$ ；

這裏，$𝐪,𝐩$ 是舊正則坐標，$𝐐,𝐏$ 是新正則坐標，$\mathscr{H}$ 是舊哈密頓量，$𝒦$ 是新哈密頓量，$G$ 是生成函數。

參閱

• 哈密頓力學
• 切觸幾何
• 正則變換

參考文獻

• Template:Cite book
• Template:Cite book