西格爾模形式

在數學中，西格爾模形式是辛群上的自守形式。西格爾模形式是西格爾上半平面上的一類多變元全純函數，模形式是其特例。在模空間的意義下，若模形式對應到橢圓曲線，則西格爾模形式便對應更廣的阿貝爾簇。

卡爾·西格爾在1930年代引入這個概念，本意在以解析數論處理二次型的問題。西格爾模形式後來也用於代數幾何、橢圓上同調及某些物理學問題，例如共形場論。

定義

固定正整數 $g,N$。首先定義西格爾上半平面為

${\mathscr{H}}_g=\{\tau \in M_{g\times g}(ℂ)|{\tau }^T=\tau ,\text{Im}(\tau )>0\}$,

換言之，此即虛部正定之對稱矩陣構成的空間。

再定義一個離散子群

${\mathrm{\Gamma }}_g(N)=\{\gamma \in G{L}_{2g}(\mathbb{Z})|{\gamma }^T\left(\begin{array}{cc}0& I_g\\ -I_g& 0\end{array}\right)\gamma =\left(\begin{array}{cc}0& I_g\\ -I_g& 0\end{array}\right),\gamma \equiv I_{2g}modN\}$,

其中 $I_g$ 表 $g\times g$ 階單位矩陣。

再設

$\rho :\text{GL}(g,ℂ)\to \text{GL}(V)$

為一有理複表示，這相當於說 $\rho$ 是代數簇之間的有理映射，並保持群運算。

現在可以定義西格爾模形式：對任一函數 $f:{\mathscr{H}}_g\to V$，我們採用下述符號

$\gamma =\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$

$(f|\gamma )(\tau ):=(\rho (C\tau +D){)}^{-1}f(\gamma \tau )$.

所謂權為 $\rho$、次數為 $g$、階為 $N$ 的西格爾模形式，是滿足下述條件的全純函數 $f:{\mathscr{H}}_g\to V$

$\mathrm{\forall }\gamma \in {\mathrm{\Gamma }}_g(N)(f|\gamma )=f$.

當 $g=1$ 時，須要求 $f$ 在無窮遠處全純。對於 $g>1$，可證明此條件自動成立（Koecher 定理）。

外部連結

• Gerard van der Geer, Lecture notes on Siegel modular forms (PDF)