自守形式

Template:NoteTA 數學上所謂的自守形式（Template:Lang-en），是一類特別的複變數函數，並在某個離散變換群下滿足由自守因子描述之變換規律。模形式與馬斯形式是其特例。由自守形式可定義自守表示，嚴格言之，自守表示並非尋常意義下的群表示，而是整體赫克代數上的模。

龐加萊在1880年代曾研究過自守形式，他稱之為富克斯函數。郎蘭茲綱領探討自守表示與數論的深入聯繫。

古典定義

設 $\mathrm{\Gamma }$ 為作用於複區域 $D$ 的離散群。取定自守因子 $j_{\gamma }(x),(\gamma \in \mathrm{\Gamma },x\in D)$ 及權 $m\in \mathbb{N}$。相應的權 $m$ 自守形式是 $D$ 上滿足下述函數方程的全純函數

$j_{\gamma }(x{)}^{m}f(\gamma (x))=f(x),x\in D,\gamma \in \mathrm{\Gamma }$。

自守因子 $j_{\gamma }(x)$ 當 $\gamma$ 固定時是 $D$ 上的全純函數，並且是 $\mathrm{\Gamma }$ 上的 1-閉上鏈。

定義中的複值函數 $f$ 可推廣成取值為矩陣的函數；權 $m$ 的限制亦可放鬆，例如半整數 $m\in \frac{1}{2}+\mathbb{Z}$。

群上的定義

自守形式另有群表示理論的詮釋，並牽涉數論，但無法完全涵攝古典定義。為簡單起見，以下設 $G=\mathrm{G}\mathrm{L}(n)$，其中心可等同於 ${𝔾}_m$。

考慮整體域 $F$（例如 $F=\mathbb{Q}$），由此定義 $G$ 的阿代爾點 $G({𝔸}_F)$，賦予相應的拓撲結構，並取定標準的緊子群 $K$。

固定一擬特徵 $\omega :F^{\times }\mathrm{\setminus }{𝔸}_F^{\times }\to {ℂ}^{\times }$。以 $\omega$為中心特徵的自守形式定為 $G(F)\mathrm{\setminus }G({𝔸}_F)$ 上滿足下列條件的複值函數 $f$：

1. $f$ 光滑：若 $F$ 為函數域，這代表 $f$ 是局部常數函數。否則意謂存在一組 $G({𝔸}_F)$ 的開覆蓋 $𝒰$，對每個 $h\in U\in 𝒰$，$f(h)=f_U(h_{\mathrm{\infty }})$，而 $f_U$ 無窮可微。
2. 对任何$z\in {𝔸}_F$ 及任何 $h$，总有 $f(z\cdot h)=\omega (z)f(h)$。
3. $f$ 右 $K$-有限：函數 $f(\cdot k)(k\in K)$ 張成有限維向量空間。
4. 承上，設 ${𝒵}_v$ 為泛包絡代數 $U(𝔤𝔩(n,F_v))$ 之中心，則 $f$ 為 ${𝒵}_v$-有限。
5. 緩增性：固定適當的高度函數 $\Vert \cdot \Vert :G({𝔸}_F)\to {ℝ}_{>0}$（取法不影響定義），存在常數 $C$ 及 $N\in \mathbb{N}$ 使得 $|f(g)|\le C\Vert g{\Vert }^N$。

註記. 若 $v$ 是 $F$ 的阿基米德賦值，條件二中張出的空間在李代數 $𝔤𝔩(n,F_v)$ 的作用 $f\mapsto Xf$ 下不變。條件三蘊含自守形式對阿基米德賦值是解析函數。

若對所有 $r+s=n(0<r,s<n)$ 皆有

$\underset{M_{r,s}(F)\mathrm{\setminus }{M}_{r,s}({𝔸}_F)}{\int }f\left(\begin{array}{cc}{I}_r& X\\ 0& I_s\end{array}\right)dX=0$

則稱 $f$ 為尖點形式。

自守表示

定義 $𝒜(G(F)\mathrm{\setminus }G({𝔸}_F),\omega )$ 為中心特徵為 $\omega$ 的自守形式集，子空間 ${𝒜}_0(G(F)\mathrm{\setminus }G({𝔸}_F),\omega )$ 則為尖點形式集。

這兩個空間是有限阿代爾群 $G({𝔸}_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}})$ 的表示；對阿基米德賦值則帶有 $(𝔤,K)$-模結構。此套結構可以概括為整體赫克代數 ${\mathscr{H}}_{G({𝔸}_F)}$ 的表示。注意：它們並非 $G(𝔸)$ 的表示！

一個自守表示是 ${\mathscr{H}}_{G({𝔸}_F)}$-模 $𝒜(G(F)\mathrm{\setminus }G({𝔸}_F),\omega )$ 之子商，$\omega$ 稱作該自守表示的中心擬特徵。尖點自守表示是 ${𝒜}_0(G(F)\mathrm{\setminus }G({𝔸}_F),\omega )$ 之子空間。

参考文献

• Template:Springer
• Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7
• Daniel Bump, Automorphic Forms and Representations, (1998), Cambridge Studies in Advanced Mathematics 55. ISBN 0-521-65818-7 .
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