薛丁格繪景

Template:NoteTATemplate:量子力学

埃爾溫·薛丁格

薛丁格繪景（Schrödinger picture）是量子力學的一種表述，為紀念物理學者埃爾溫·薛丁格而命名。在薛丁格繪景裏，量子系統的態向量隨著時間流易而演化，而像位置、自旋一類的對應於可觀察量的算符則與時間無關。

薛丁格繪景與海森堡繪景、狄拉克繪景不同。在海森堡繪景裏，對應於可觀察量的算符會隨著時間流易而演化，而描述量子系統的態向量則與時間無關。在狄拉克繪景裏，態向量與算符都會隨著時間流易而演化。

這三種繪景殊途同歸，所獲得的結果完全一致。這是必然的，因為它們都是在表達同樣的物理現象。Template:Rp

在薛丁格繪景裏，負責時間演化的算符是一種么正算符，稱為時間演化算符。假設時間從$t_0$流易到$t$，而經過這段時間間隔，態向量$|\psi (t_0)⟩$演化為態向量$|\psi (t)⟩$，這時間演化過程以方程式表示為

$|\psi (t)⟩=U(t,t_0)|\psi (t_0)⟩$；

其中，$U(t,t_0)$是時間演化算符。

假設系統的哈密頓量$H$不含時，則時間演化算符為

$U(t,t_0)=e^{-iH(t-t_0)/\hslash }$；

其中，$\hslash$是約化普朗克常數，指數函數$e^{-iH(t-t_0)/\hslash }$必須通過其泰勒級數計算。

在初級量子力學教科書裏，時常會使用薛丁格繪景。Template:Rp

時間演化算符

定義

時間演化算符$U(t,t_0)$定義為

$|\psi (t)⟩\stackrel{def}{=}U(t,t_0)|\psi (t_0)⟩$；

其中，右矢$|\psi (t)⟩$表示時間為$t$的態向量，$U(t,t_0)$是時間演化算符，從時間$t$演化到時間$t_0$。

這方程式可以做這樣解釋：將時間演化算符$U(t,t_0)$作用於時間是$t_0$的態向量$|\psi (t_0)⟩$，則會得到時間是$t$的態向量$|\psi (t)⟩$。

類似地，也可以用左矢$⟨\psi |$來定義：

$⟨\psi (t)|=⟨\psi (t_0)|U^{†}(t,t_0)$；

其中，算符$U^{†}$是算符$U$的厄米共軛。

性質

幺正性

由於態向量必須滿足歸一條件，態向量的範數不能隨時間而變：Template:Rp

$⟨\psi (t)|\psi (t)⟩=⟨\psi (t_0)|\psi (t_0)⟩$。

可是，

$⟨\psi (t)|\psi (t)⟩=⟨\psi (t_0)|U^{†}(t,t_0)U(t,t_0)|\psi (t_0)⟩$。

所以，

$U^{†}(t,t_0)U(t,t_0)=I$ ;

其中，$I$是單位算符。

單位性

時間演化算符$U(t_0,t_0)$必須是單位算符$U(t_0,t_0)=I$，因為，Template:Rp

$|\psi (t_0)⟩=U(t_0,t_0)|\psi (t_0)⟩$。

閉包性

從初始時間$t_0$到最後時間$t$的時間演化算符，可以視為從中途時間$t_1$到最後時間$t$的時間演化算符，乘以從初始時間$t_0$到中途時間$t_1$的時間演化算符Template:Rp：

$U(t,t_0)=U(t,t_1)U(t_1,t_0)$。

根據時間演化算符的定義，

$|\psi (t_1)⟩=U(t_1,t_0)|\psi (t_0)⟩$，

$|\psi (t)⟩=U(t,t_1)|\psi (t_1)⟩$。

所以，

$|\psi (t)⟩=U(t,t_1)U(t_1,t_0)|\psi (t_0)⟩$。

可是，再根據定義，

$|\psi (t)⟩=U(t,t_0)|\psi (t_0)⟩$。

所以，時間演化算符必須滿足閉包性：

$U(t,t_0)=U(t,t_1)U(t_1,t_0)$。

時間演化算符的微分方程式

為了方便起見，設定$t_0=0$，初始時間$t_0$永遠是$0$，則可忽略時間演化算符的$t_0$參數，改寫為$U(t)$。含時薛丁格方程式為Template:Rp

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\psi (t)⟩=H|\psi (t)⟩$；

其中，$H$是哈密頓量。

從時間演化算符的定義式，可以得到

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}U(t)|\psi (0)⟩=HU(t)|\psi (0)⟩$。

由於$|\psi (0)⟩$可以是任意恆定態向量（處於$t=0$的態向量），時間演化算符必須遵守方程式

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}U(t)=HU(t)$。

假若哈密頓量不含時，則這方程式的解答為

$U(t)=e^{-iHt/\hslash }$。

注意到在時間$t=0$，時間演化算符必須約化為單位算符$U(0)=I$。由於$H$是算符，指數函數$e^{-iHt}$必須通過其泰勒級數計算：

$e^{-iHt/\hslash }=1-\frac{iHt}{\hslash }-\frac{1}{2}{\left(\frac{Ht}{\hslash }\right)}^2+\cdots$。

按照時間演化算符的定義，在時間$t$，態向量為

$|\psi (t)⟩=e^{-iHt/\hslash }|\psi (0)⟩$。

注意到$|\psi (0)⟩$可以是任意態向量。假設初始態向量$|\psi (0)⟩$是哈密頓量的本徵態，而本徵值是$E$，則在時間$t$，態向量為

$|\psi (t)⟩=e^{-iEt/\hslash }|\psi (0)⟩$。

這樣，可以看到哈密頓量的本徵態是定態，隨著時間的流易，只有相位因子在進行演化。

假設，哈密頓量與時間有關，但在不同時間的哈密頓量相互對易，則時間演化算符可以寫為

$U(t)=\exp \left(-\frac{i}{\hslash }\underset{0}{\overset{t}{\int }}H(t^{\prime })d{t}^{\prime }\right)$。

假設，哈密頓量與時間有關，而在不同時間的哈密頓量不相互對易，則時間演化算符可以寫為

$U(t)=T\exp \left(-\frac{i}{\hslash }\underset{0}{\overset{t}{\int }}H(t^{\prime })d{t}^{\prime }\right)$；

其中，$T$是時間排序算符。

必須用Template:Le來表示，

$U(t)=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{-i}{\hslash }\right)}^n\underset{0}{\overset{t}{\int }}d{t}_1\underset{0}{\overset{t_1}{\int }}d{t}_2\dots \underset{0}{\overset{t_{n-1}}{\int }}d{t}_{n}H(t_1)H(t_2)\dots H(t_n)$。

各種繪景比較摘要

為了便利分析，位於下標的符號$\mathscr{H}$、$ℐ$、$𝒮$分別標記海森堡繪景、交互作用繪景、薛丁格繪景。

各種繪景隨著時間流易會呈現出不同的演化：Template:Rp

演化	海森堡繪景	交互作用繪景	薛丁格繪景
右矢	常定	$|\psi (t){⟩}_{ℐ}=e^{i{H}_{0}t/\hslash }|\psi (t){⟩}_{𝒮}$	$|\psi (t){⟩}_{𝒮}=e^{-iHt/\hslash }|\psi (0){⟩}_{𝒮}$
可觀察量	$A_{\mathscr{H}}(t)=e^{iHt/\hslash }{A}_{𝒮}{e}^{-iHt/\hslash }$	$A_{ℐ}(t)=e^{i{H}_{0}t/\hslash }{A}_{𝒮}{e}^{-i{H}_{0}t/\hslash }$	常定
密度算符	常定	${\rho }_{ℐ}(t)=e^{i{H}_{0}t/\hslash }{\rho }_S(t)e^{-i{H}_{0}t/\hslash }$	${\rho }_{𝒮}(t)=e^{-iHt/\hslash }{\rho }_{𝒮}(0)e^{iHt/\hslash }$

參閱

• 哈密頓-亞可比方程式

參考文獻

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