歸一條件

Template:NoteTA 在量子力學裏，表達粒子的量子態的波函數必須滿足歸一條件（歸一化，或規範化，Template:Lang-en），也就是說，在空間內，找到粒子的機率必須等於 $1$ 。這性質稱為歸一性。用數學公式表達，

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\psi }^{*}(x)\psi (x)dx=1$ ;

其中，$x$ 是粒子的位置，$\psi (x)$ 是波函數。

歸一化導引

一般而言，波函數 $\psi$ 是一個複函數。可是，${\psi }^{*}\psi =\mid \psi {\mid }^2$ 是一個實函數，大於或等於 $0$ ，稱為「機率密度函數」。所以，在區域 $[x,x+\mathrm{\Delta }x]$ 內，找到粒子的機率 $\mathrm{\Delta }P$ 是

$\mathrm{\Delta }P=\mid \psi {\mid }^2\mathrm{\Delta }x$ ；(1) 。

既然粒子存在於空間，機率是 $1$ 。所以，積分於整個一維空間：

$P=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mid \psi {\mid }^{2}dx=1$ 。(2)

假若，從解析薛丁格方程而得到的波函數 $\psi$ ，其機率 $P$ 是有限的，但不等於 $1$ ，則可以將波函數 $\psi$ 乘以一個常數，使機率 $P$ 等於 $1$ 。或者，假若波函數內，已經有一個任意常數，可以設定這任意常數的值，使機率 $P$ 等於 $1$。

實例

在一維空間內，束縛於區域 $[0,\ell ]$ 內的一個粒子，其波函數是

$\psi (x,t)=\{\begin{array}{cc}A{e}^{i(kx-\omega t)},& 0\le x\le \ell \\ 0,& elsewhere\end{array}$ ；

其中，$k$ 是波數，$\omega$ 是角頻率，$A$ 是任意常數。

計算能夠使波函數歸一化的常數值 $A$ 。將波函數代入：

$\mid \psi {\mid }^2=A^2{e}^{i(kx-\omega t)}{e}^{-i(kx-\omega t)}=A^2$ 。

積分於整個粒子存在的區域：

$\underset{0}{\overset{\ell }{\int }}{A}^{2}dx=1$ 。

稍加運算，

$A^2\ell =1\Rightarrow A=\left(\frac{1}{\sqrt{\ell }}\right)$ 。

歸一化的波函數是：

$\psi (x,t)=\{\begin{array}{cc}\left(\frac{1}{\sqrt{\ell }}\right)e^{i(kx-\omega t)},& 0\le x\le \ell \\ 0,& \text{elsewhere}\end{array}$ 。

薛丁格方程的形式不變

薛丁格方程為

$\frac{-{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}+V(x)\psi (x)=E\psi (x)$ ；

其中，$\hslash$ 是約化普朗克常數，$V(x)$ 是位勢，$E$ 是能量。

將波函數 $\psi$ 歸一化為 $\psi {}^{\prime }=A\psi$ 。則薛丁格方程成為

$\frac{-{\hslash }^2}{2m}A\frac{d^2\psi }{d{x}^2}+V(x)A\psi (x)=EA\psi (x)$

$\Rightarrow A(\frac{-{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}+V(x)\psi (x))=A(E\psi (x))$

$\Rightarrow \frac{-{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}+V(x)\psi (x)=E\psi (x)$ 。

薛丁格方程的形式不變。對於歸一化，薛丁格方程是個不變式，因為薛丁格方程是個線性微分方程式。

一個表達粒子量子態的波函數，必須滿足粒子的薛丁格方程。既然 $\psi$ 和 $\psi {}^{\prime }$ 都能夠滿足同樣的薛丁格方程，它們必定都表達同樣的量子態。假若不使用歸一化的波函數，則只能知道機率的相對大小；否則，使用歸一化的波函數，可以知道絕對的機率。這對於量子問題的解析，會提供許多便利。

歸一化恆定性

給予一個歸一化的波函數．隨著時間的變化，波函數也會改變．假若，隨著時間改變的波函數不再滿足歸一條件，則勢必要重新將波函數歸一化．這樣，歸一常數 $A$ 變得含時間．很幸運地，滿足薛丁格方程的波函數的歸一性是恆定的．設定波函數 $\psi (x,t)$ 滿足薛丁格方程與歸一條件：

$\frac{-{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+V(x)\psi =i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}$ ，

$P=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\psi }^{*}\psi dx=1$ ；

假若，歸一性是恆定的，則機率 $P$ 不含時間。為了顯示這一點，先計算 $\frac{dP}{dt}$ ：

$\frac{dP}{dt}=\frac{d}{dt}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\psi }^{*}(x,t)\psi (x,t)dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\partial }{\partial t}({\psi }^{*}(x,t)\psi (x,t))dx$ 。

展開被積函數

$\frac{\partial }{\partial t}({\psi }^{*}\psi )=\frac{\partial {\psi }^{*}}{\partial t}\psi +{\psi }^{*}\frac{\partial \psi }{\partial t}$ 。

編排薛丁格方程，可以得到波函數 $\psi$ 對於時間的偏導數：

$\frac{\partial \psi }{\partial t}=\frac{i\hslash }{2m}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}-\frac{i}{\hslash }V(x)\psi$ 。

共軛波函數 ${\psi }^{*}$ 對於時間的偏導數為

$\frac{\partial {\psi }^{*}}{\partial t}=\frac{-i\hslash }{2m}\frac{{\partial }^2{\psi }^{*}}{\partial x^2}+\frac{i}{\hslash }V(x){\psi }^{*}$ 。

將 $\psi$ 與 ${\psi }^{*}$ 代入被積函數

$\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial t}({\psi }^{*}\psi )& =(\frac{-i\hslash }{2m}\frac{{\partial }^2{\psi }^{*}}{\partial x^2}+\frac{i}{\hslash }V(x){\psi }^{*})\psi +{\psi }^{*}(\frac{i\hslash }{2m}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}-\frac{i}{\hslash }V(x)\psi )\\ & =\left(\frac{-i\hslash }{2m}\frac{{\partial }^2{\psi }^{*}}{\partial x^2}\right)\psi +{\psi }^{*}\left(\frac{i\hslash }{2m}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}\right)\\ & =\left(\frac{i\hslash }{2m}\right)\frac{\partial }{\partial x}({\psi }^{*}\frac{\partial \psi }{\partial x}-\frac{\partial {\psi }^{*}}{\partial x}\psi )\\ \end{array}$。

代入 $\frac{dP}{dt}$ 的方程式:

$\frac{dP}{dt}=\left(\frac{i\hslash }{2m}\right)[{({\psi }^{*}\frac{\partial \psi }{\partial x}-\frac{\partial {\psi }^{*}}{\partial x}\psi )|}_{\mathrm{\infty }}-{({\psi }^{*}\frac{\partial \psi }{\partial x}-\frac{\partial {\psi }^{*}}{\partial x}\psi )|}_{-\mathrm{\infty }}]$ 。

可是，在 $x=\pm \mathrm{\infty }$ ，$\psi$ 與 ${\psi }^{*}$ 都等於 0 ．所以，

$\frac{dP}{dt}=0$ 。

機率 $P=1$ 不含時間。波函數的歸一化是恆定的。

參考文獻

• Template:Cite book

參閱

• 正則變換
• 么正性

外部連結

• Middlebury 大學講義：歸一化