仿射空间

仿射空间 （英文: Affine space)，又称线性流形，是数学中的几何结构，这种结构是欧式空间的仿射特性的推广。在仿射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是点与点之间不可以做加法。

仿射空间中没有特定的原点，因此不能将空间中的每一点和特定的向量对应起来。仿射空间中只有从一个点到另一个点的位移向量，或称平移向量。如果$X$是仿射空间，$a,b\in X$，那么从$a$到$b$的位移向量为$b-a$。虽然无法做点与点之间的加法， 但是可以通过仿射组合(系数和为1的线性组合)的方式进行点的变化，仿射组合的系数构成了一个重心坐标 。 所有向量空间都可看作仿射空间。若$X$是向量空间，$L\subseteq X$是向量子空间，$a\in X$, 则$a+L=\{a+l:l\in L\}$是仿射空间。这里的$a$也称为平移向量。若向量空间$X$的维度是$n<\mathrm{\infty }$，那么$X$的仿射子空间也可看作一组非齐次线性方程的解；对应的(去掉平移向量的)齐次方程的解是线性子空间，因为齐次方程的解永远包含零解。维度为$n-1$的仿射空间也叫做仿射超平面。

非正式描述

下面的非正式描述可能比正式的定义更容易理解。仿射空间像是没有原点的向量空间，其中向量只有方向和大小。假设有甲乙两人，其中甲知道一个空间中真正的原点，但是乙认为另一个点$p$才是原点。现在求两个向量$a$和$b$的和。乙画出$p$到$a$和$p$到$b$的箭头，然后用平行四边形找到他认为的向量$a+b$。但是甲认为乙画出的是向量$p+(a-p)+(b-p)$。同样的，甲和乙可以计算向量$a$和$b$的线性组合，通常情况下他们会得到不同的结果。然而，请注意：如果线性组合系数的和为1，那么甲和乙将得到同样的结果！

图中Alice为甲,Bob为乙

如果乙从他的原点$p$向$\lambda a+(1-\lambda )b$方向行走， 则从甲的角度来看，乙的行程为$p+\lambda (a-p)+(1-\lambda )(b-p)=\lambda a+(1-\lambda )b$.

仿射空间就是这样产生的：定义仿射组合为系数和为1的线性组合；甲知道空间的「线性结构」，但是甲和乙都知道空间的「仿射结构」，也就是空间中所有仿射组合的值。 那么对于所有满足$\lambda +(1-\lambda )=1$的系数，即使甲乙从不同的原点开始，他们将以同样的线性组合描述同样的点。

定义

称集合 $A$ 是仿射空间，是指其满足如下性质：

1. 存在一个与之相伴的向量空间 $B$
2. 存在一个映射 $f:\begin{array}{cc}A\times B& \to A\\ (a,v)& \mapsto a+v\end{array}$，且这个映射有如下性质：
   1. 右幺性：$\mathrm{\forall }a\in A,a+0_B=a$;
   2. 结合律：$\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in B,a\in A$ 成立 $(a+\alpha )+\beta =a+(\alpha +\beta )$;
   3. 正则性：给定 $A$ 中的元素$a$, $\mathrm{\exists }{f}_a:B\to A$ 是双射.

从定义中不难得出集合 $A$ 还具有如下性质:

1. $\mathrm{\forall }\alpha \in B,f_{\beta }:a\mapsto a+\alpha$是一个双射;
2. 减法： $\mathrm{\forall }a,b\in A,\mathrm{\exists }\alpha \in B$ 使得$b=a+\alpha$, 记这个 $\alpha$ 为 $b-a$.

另一种等价的定义可以表述为：集合 $A$ 是仿射空间, 是指存在某个向量空间$V$, $V$ 在 $A$ 上的作为加法群的群作用是自由且可迁的.

参阅

• 仿射几何
• 仿射变换
• 仿射群
• 区间测度
• heap (数学)
• 空间 (数学)

参考文献

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• Ernst Snapper and Robert J. Troyer, Metric Affine Geometry, Dover Publications; Reprint edition (October 1989)