等諧數列

等諧数列，又名調和数列（英文：harmonic sequence 或 harmonic progression），是数列的一种。在等諧数列中，任何相邻两项倒數的差相等，该差值的倒數称为公諧差（common harmonic difference）。

例如数列：

Template:Math

就是一个等諧数列。 在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公諧差都等于 Template:Math。

性質

如果一个等諧数列的首项記作 Template:Math，公諧差記作 Template:Math，那么该等諧数列第 Template:Math 项 Template:Math 的一般項为：

$a_n=\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}}$

換句話說，任意一個等諧数列 Template:Math都可以寫成

$\{a,\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{h}},\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{h}},\cdots ,\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}}\}$

在一個等諧數列中，給定任意兩相連項 Template:Math 和 Template:Math ，可知公諧差

$h=\frac{1}{\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}}$

給定任意兩項 Template:Math 和 Template:Math ，則有公諧差

$h=\frac{m-n}{\frac{1}{a_m}-\frac{1}{a_n}}$

此外，在一個等諧数列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之倒數和，為原來該項倒數的兩倍。舉例來說，$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_3}=\frac{2}{a_2}$。

更一般地說，有：

$\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{2}{a_n}$

證明如下：

$\begin{array}{cc}\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{a_{n+1}}& =(\frac{1}{a}+\frac{n-2}{h})+(\frac{1}{a}+\frac{n}{h})\\ & =\frac{2}{a}+\frac{2n-2}{h}\\ & =2(\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h})\\ & =\frac{2}{a_n}\\ \end{array}$

證畢。

從另一個角度看，等諧數列中的任意一項，是其前一項和後一項的調和平均：

$a_n=\frac{2}{\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{a_{n+1}}}$

此結果從上面直接可得。

如果有正整數 Template:Math，使得 $m+n=p+q$，那么则有：

$\frac{1}{a_m}+\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_p}+\frac{1}{a_q}$

證明如下：

$\begin{array}{cc}\frac{1}{a_m}+\frac{1}{a_n}& =(\frac{1}{a}+\frac{m-1}{h})+(\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h})\\ & =\frac{2}{a}+\frac{m+n-2}{h}\\ & =\frac{2}{a}+\frac{p+q-2}{h}\\ & =(\frac{1}{a}+\frac{p-1}{h})+(\frac{1}{a}+\frac{q-1}{h})\\ & =\frac{1}{a_p}+\frac{1}{a_q}\\ \end{array}$

由此可將上面的性質一般化成：

$\frac{1}{a_{n-k}}+\frac{1}{a_{n+k}}=\frac{2}{a_n}$

$a_n=\frac{2}{\frac{1}{a_{n-k}}+\frac{1}{a_{n+k}}}$

其中 Template:Math 是一個小於 Template:Math 的正整數。

給定一個等諧數列 $\{a_n\}$，則有：

• $\{b\cdot a_n\}$ 是一個等諧數列。
• $\{\frac{b}{a_n}\}$ 是一個等差數列。

等諧数列和

一個等諧數列的首 Template:Math 項之和，稱為等諧数列和（sum of harmonic sequence）或調和級數（harmonic series），記作 Template:Math。

舉例來說，等諧數列 Template:Math的和是 Template:Math = Template:Math。

等諧數列並沒有簡單的求和公式。但使用以下反常積分，可對數列和以數值積分作估算：

$S_n=a\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\frac{1-x^{\frac{a}{h}\cdot n}}{1-x^{\frac{a}{h}}}\right)\mathrm{d}x$

公式證明如下：

$\begin{array}{cc}{S}_n& =a+\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{h}}+\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{h}}+\cdots +\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}}\\ & =a+\frac{a}{1+\frac{a}{h}}+\frac{a}{1+\frac{2a}{h}}+\cdots +\frac{a}{1+\frac{(n-1)a}{h}}\\ & =a(1+\frac{1}{\frac{a}{h}+1}+\frac{1}{\frac{2a}{h}+1}+\cdots +\frac{1}{\frac{(n-1)a}{h}+1})\\ & =a{[x+\frac{x^{\frac{a}{h}+1}}{\frac{a}{h}+1}+\frac{x^{\frac{2a}{h}+1}}{\frac{2a}{h}+1}+\cdots +\frac{x^{\frac{(n-1)a}{h}+1}}{\frac{(n-1)a}{h}+1}]}_{x=0}^{x=1}\\ & =a\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1+x^{\frac{a}{h}}+x^{\frac{2a}{h}}+\cdots +x^{\frac{(n-1)a}{h}})\mathrm{d}x\\ & =a\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\frac{1-x^{\frac{a}{h}\cdot n}}{1-x^{\frac{a}{h}}}\right)\mathrm{d}x\\ \end{array}$

最後一步，使用了等比數列的求和公式。

使用上面的例子，對於數列 Template:Math：

$\begin{array}{cc}{S}_4& =\frac{1}{3}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\frac{1-x^{\frac{2}{3}\cdot 4}}{1-x^{\frac{2}{3}}}\right)\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{3}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\frac{1-x^{\frac{8}{3}}}{1-x^{\frac{2}{3}}}\right)\mathrm{d}x\\ & \approx 0.7873\end{array}$

結果相等。

從這公式中容易看出，等諧級數是發散的。

等諧数列积

一個等諧數列的首 Template:Math 項之積，稱為等諧数列積（product of harmonic sequence），記作 Template:Math。

舉例來說，等諧數列 Template:Math的積是 Template:Math = Template:Math。

等諧数列積的公式可以Γ函數表示：

$P_n=h^n\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{h}{a})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{h}{a}+n)}$

證明如下：

$\begin{array}{cc}{P}_n& =a\cdot \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{h}}\cdot \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{h}}\cdot \cdots \cdot \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}}\\ & =\frac{1}{\frac{1}{h^n}\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{h}{a}+n)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{h}{a})}}\\ & =h^n\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{h}{a})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{h}{a}+n)}\\ \end{array}$

這裡使用了等差數列的求積公式。

使用上面的例子，對於數列 Template:Math：

$\begin{array}{cc}{P}_4& =\frac{1}{2^4}\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{2}+4)}\\ & =\frac{1}{16}\cdot \frac{0.88622\dots }{52.342\dots }\\ & =\frac{1}{945}\\ \end{array}$

結果相等。

参见

• 序列
• 數列
• 級數
• 調和級數
• 調和平均
• 等差數列
• 等比數列

参考文献

• Weisstein, Eric W. "Harmonic Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. -{R|http://mathworld.wolfram.com/HarmonicSeries.html}- Template:Wayback.
• Yadav, A., Pi, H, G., Mukhopadhyay, S., et al. "Harmonic Progressions." From Brilliant. -{R|https://brilliant.org/wiki/harmonic-progression/}- Template:Wayback.