穩定流形

Template:No footnotes 在数学动力系统的研究中，稳定（或不稳定）流形指的是以指数率趋向（或远离）某一不变集的点的集合。

定义

以下提供迭代函数或離散動態系統情況下的定義。类似的概念适用于时间演变是由流给出的系统。

令$M$是拓扑空间，$f:X\to X$是同胚的。如果$p$是$f$的不動點，$p$的穩定集定義為

$W^s(f,p)=\{q\in X:f^n(q)\to p\text{ as }n\to \mathrm{\infty }\}.$

而$p$的不稳定集定義為

$W^u(f,p)=\{q\in X:f^{-n}(q)\to p\text{ as }n\to \mathrm{\infty }\}.$

其中$f^{-1}$是$f$的反函數。

如果$p$是一個周期為$k$的週期點，那麼他就是$f^k$的不動點，而且對其穩定集和不穩定集有

$\begin{array}{cc}{W}^s(f,p)& =W^s(f^k,p),\\ W^u(f,p)& =W^u(f^k,p).\end{array}$

給定$p$的邻域$U$，$p$的局部穩定和不穩定集分別定義為

$\begin{array}{cc}{W}_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^s(f,p,U)& =\{q\in U:f^n(q)\in U\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\cup \{0\}\},\\ W_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^u(f,p,U)& =W_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^s(f^{-1},p,U).\end{array}$

如果$X$可度量化，那麼對任意點$p$也可以定義稳定和不稳定集為

$\begin{array}{cc}{W}^s(f,p)& =\{q\in X:d(f^n(q),f^n(p))\to 0\text{ for }n\to \mathrm{\infty }\},\\ W^u(f,p)& =W^s(f^{-1},p),\end{array}$

其中$d$是$X$的度量（這個定義清楚的會和前面週期點的情況相符合）。

相關條目

• 极限集合
• 朱利亚集合
• 中心流形
• 穩定流形定理

參考資料

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