中心流形

彈跳的球，若不考慮球在反彈時的形變，其運動可以以牛頓運動定律來描述

中心流形（center manifold）是動力系統數學理論的一部份，最早是用此概念來判斷退化平衡點的穩定性。之後這個概念成為数学模型的建構基礎。

若將球往上拋。可根據牛顿运动定律預測球的運動，方式是求解有其位置以及速度的微分方程，但在Template:Le時的行為就無法用牛顿运动定律來描述。在球反彈時，球會有形變，就無法用剛體的牛顿运动定律來預測系統的演進，需要用连续介质力学來描述組成球的所有粒子在形變前後的行為。 在反彈後，球的形變會快速消失，球繼續依循牛顿运动定律。 若將球視為是由許多互相影響的成份所組成的系統，牛頓運動定律對球的描述，只以位置、速度及旋轉方式呈現，即為變形球的中心流形 。若有一系統是由許多互相影響成份所組成，而其影響效應會快速衰減，可以用中心流形，以較簡單的方式來描述系統。

中心流形在分岔理論中有重要的地位，因為系統在中心流形的位置會出現特殊的行為，在Template:Le中也很重要，微尺度的長時間動態常常會受到相對簡單、變數尺度較大的中心流形吸引。

定義

系統$\dot{x}=x^2,$ $\dot{y}=y$，鞍點平衡點的中心流形（紅色）及不穩定中心流形（綠色）

在2D相圖上亂數選擇的點，這些點的動態會指數收斂為較慢（非指數）的動態。中心流形動態的研究可以判斷在原點的非雙曲性不動點的穩定性

动力系统的中心流形是以系統的平衡點為基礎，以球為例，就是球靜止，沒有變形的狀態。 平衡點的中心流形包括了鄰近的Template:Le中，沒有快速指数衰减，也沒有快速指數增長的的軌跡。若以球來說，中心流形中包括了球的移動及自旋運動，但不包括球的形變（因為形變會由於阻尼力而快速衰減）。

在數學上，研究动力系统平衡點的第一步是線性化，之後計算其特征值和特征向量。 其對應特徵值有負實數的特徵向量（若有Template:Le的話，也包括在內）可以組成基的特徵空間。 對應特徵值有正實數的（廣義）特徵向量可以組成不穩定的特徵空間。 若平衡點為Template:Le（所有線性化後的特徵值，實部都不為0）。Template:Le可以保證在平衡點附近的動態可以完全用特徵值及特徵向量來描述。

若平衡點的特徵值中，有特徵值的實部是零，則是對應的（廣義）特徵向量會組成「中心特徵空間」，以球為例，就是球在不受力下刚体动力学的整個集合。 若不只考慮線性化後的系統，將動力系統加上非線性或是外力的微擾，中心特徵空間會變形到鄰近的中心流形 。 若特徵值不只是實部為零，而是特徵值的複數值為零（如球的例子），對應的特徵空間可以更準確的對應Template:Le。 中心（慢）流形的行為無法由線性化來判定，因此不容易建構。

類似的道理，在穩定特徵空間或不穩定特徵空間加上非線性或是外力的微擾，會讓系統變形到鄰近的穩定流形或不穩定流形 。 這三種流形是不變流形中的三類例子。

令$\frac{d\mathbf{\text{x}}}{dt}=\mathbf{\text{f}}(\mathbf{\text{x}})$是动力系统，其平衡点為${\mathbf{\text{x}}}^{*}$，則系統在平衡點附近的線性化為

$\frac{d\mathbf{\text{x}}}{dt}=A\mathbf{\text{x}},\text{where }A=\frac{d\mathbf{\text{f}}}{d\mathbf{\text{x}}}({\mathbf{\text{x}}}^{*}).$

雅可比矩阵 $A$可以定義以下的三種子空間：

• 穩定子空間，是由特徵值實部小於0的Template:Le所生成。
• 不穩定子空間，是由特徵值實部大於0的廣義特徵向量所生成。
• 中心子空間，是由特徵值實部等於0的廣義特徵向量所生成。

依照應用的不同，也會分類以下的子空間，例如中心穩定、中心不穩定、次中心、或是快速子空間。 這些子空間都是線性化方程的不变子空间。

對應線性系統，非線性系統會有慢流形，每一種都會包括一種非線性系統的軌跡集合。

• 和穩定子空間相切，有相同維度的不變流形是穩定流形.
• 不穩定流形和不穩定子空間相切，也有相同維度。
• 中心流形和中心子空間相切，有相同維度。若中心子空間的特徵值都為0，此中心流形會稱為慢流形。

中心流形的相關定理

中心流形存在定理（center manifold existence theorem）內容是：若函數$\mathbf{\text{f}}(\mathbf{\text{x}})$ 是$C^r$（$r$次的連續可微），則針對每一個平衡點，都存在一個有限大小的鄰域，使得以下三項敘述，至少會有一項成立：

• 唯一的$C^r$穩定流形
• 唯一的$C^r$不穩定流形
• （可能不唯一的）$C^{r-1}$中心流形

像非線性的座標轉換為Template:Le就可以清楚的分出這三種流形。有網頁服務可以針對有限維的系統進行必要的電腦計算。

若在那些沒有不穩定流形的例子中，中心流形一般會和建模有關。 中心流形出現定理提到可以選擇鄰域，使系統的所有解維持在會以指數收斂到中心流形上某個解$\mathbf{\text{y}}(t)$的範圍內。 也就是說 $\mathbf{\text{x}}(t)=\mathbf{\text{y}}(t)+𝒪(e^{-{\beta }^{\prime }t})\text{as }t\to \mathrm{\infty },$ 會以某速率值${\beta }^{\prime }$進行 。 此定理也確保針對多許多的初始條件，整個系統的解會快速指數收斂到比較低維度的中心流形上。

第三個定理是近似定理，若針對某不變流形（例如$\mathbf{\text{x}}=\mathbf{\text{X}}(\mathbf{\text{s}})$），有近似表示式滿足系統的微分方程，當$\mathbf{\text{s}}\to \mathbf{\text{0}}$時，其residuals為$𝒪(|\mathbf{\text{s}}{|}^p)$，則不變流形可以用$\mathbf{\text{x}}=\mathbf{\text{X}}(\mathbf{\text{s}})$來近似，其誤差也是同一量級的，例如是$𝒪(|\mathbf{\text{s}}{|}^p)$。

另一種反向分析

上述的理論都是針對特定問題，想找到不變流形的性質。特別是建構一個流形來近似系統的不變流形。 另一種方式是針對給定系統，找到一個近似的系統，建構此系統的不變流形，這稱為反向分析。 目的是將理論應用到範圍更廣的系統中，並估計誤差以及有效域的大小 。

此方法和數值建模中公認的Template:Le完全相同。

中心流形以及非線性系統的分析

平衡點的穩定性和其流形的「穩定性」有關，中心流形是否存在的問題也帶來了有關中心流形的系統動力學問題，這可以由中心流形約化（center manifold reduction）來分析，再配合系統參數μ，可以引到分岔理論的概念。也有些網站可以進行相關計算。

例子

簡單的例子

考慮以下系統

$\dot{x}=x^2,\dot{y}=y.$

在原點的不穩定流形為y軸，穩定流形為平凡集{(0, 0)}。不在穩定流形上的任何軌跡都滿足以下形式的方程式$y=A{e}^{-1/x}$，其中A為實數的常。可以推得針對任意的A，可以創建中心流形，方式是將$y=A{e}^{-1/x}$，x > 0的部份，和x為非正值的X軸連接。而且，所有的中心流形都有潛在的非唯一性，不過非唯一性只會發生在變數為複數的情形下。

时滞微分方程

另一個例子可以用中心流形來為霍普夫分岔建模，霍普夫分岔是發生在以下的时滞微分方程

$dx/dt=-ax(t-1)-2x^2-x^3$

參數$a\approx 4$的情形。嚴格來說，因為有时滞，微分方程會變成無限維。 不過可以用以下的方式來近似时滞，讓系統仍為有限維度。

定義$u_1(t)=x(t)$ 以及適當的时滞變數 $x(t-1)\approx u_3(t)$，利用其中間值 $d{u}_2/dt=2(u_1-u_2)$及 $d{u}_3/dt=2(u_2-u_3)$.

在接近臨界值的參數$a=4+\alpha$，时滞微分方程可以用以下系統來近似

$\frac{d\mathbf{\text{u}}}{dt}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -4\\ 2& -2& 0\\ 0& 2& -2\end{array}\right]\mathbf{\text{u}}+\left[\begin{array}{c}-\alpha u_3-2u_1^2-u_1^3\\ 0\\ 0\end{array}\right].$

透過網頁服務，可以找到相量$s(t)$ 以及其共軛$\overline{s}(t)$，中心流形為

$\mathbf{\text{u}}=\left[\begin{array}{c}{e}^{i2t}s+e^{-i2t}\overline{s}\\ \frac{1-i}{2}{e}^{i2t}s+\frac{1+i}{2}{e}^{-i2t}\overline{s}\\ -\frac{i}{2}{e}^{i2t}s+\frac{i}{2}{e}^{-i2t}\overline{s}\end{array}\right]+O(\alpha +|s{|}^2)$

中心流形的演進為

$\frac{ds}{dt}=[\frac{1+2i}{10}\alpha s-\frac{3+16i}{15}|s{|}^{2}s]+O({\alpha }^2+|s{|}^4)$

從此演進可以看出，系統在$\alpha >0(a>4)$時，在原點是線性的不穩定，但三次非線性使其有穩定的極限環，就像經典霍普夫分岔的結果一樣。

參考資料

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