真因數和

真因數和，又稱真因子和，在數論中，一個正整數的所有真因數之和，即除了自己本身外的所有正因數之和，通常以$s(n)$來表示：

$s(n)=\sum _{d|n,d\ne n}d.$

真因數和可以用來描述質數、完全数、相親數鏈、亏数、过剩数和不可及数，也可以用於定義整數的真因數和數列。

真因數和函數$s(n)$與1次除數函數${\sigma }_1(n)$的關係僅差$n$：

$s(n)={\sigma }_1(n)-n$

例子

以12為例，12的真因數（即除了自己本身外的所有正因數）有1、2、3、4和6，則其真因數和為Template:計算結果

下面數列呈現前幾個整數的真因數和 $s(n),n=1,2,3,...$

Template:數列21 …… Template:OEIS

數字類別的性質

真因數和函數可以用來區分幾個特別的數字類別：

• 1是唯一一個真因數和為0的正整數。
• 如果一個正整數真因數和為1則代表該數是一個質數。
• 完全数的真因數和等於本身、亏数的真因數和小於本身、过剩数的真因數和大於本身。准完全数（如果存在的話）真因數和為n+1。殆完全數（目前已知僅有2的冪）真因數和為n-1。
• 不可及数是指不是任何數之真因數和的數。相關研究至少可以追溯到大約公元1000年Template:Link-en的研究，其發現2和5都是不可及數。埃尔德什·帕尔證明有無限多個不可及數。目前尚未確定5是否為唯一的奇數不可及數，但可以從哥德巴赫猜想的一種形式與半素数pq的真因數和為p+q+1的觀察得出。

數學家保羅·波拉克（Paul Pollack）和Template:Link-wd指出，埃尔德什·帕尔「最喜歡的研究項目」是真因數和。

疊代

Template:Main 疊代真因數和函數可以產生非負整數的真因數和數列Template:Math（在這個數列中，我們定義Template:Math）。

相親數鏈的真因數和數列為Template:Le，相親數是週期為2的相親數鏈。

目前尚不清楚這些數列是否總是以質數、完全数或周期性的相亲数链為結尾。

參見

• 除數函數：一數之正因數的Template:Math次方和
• Template:Link-en：中世紀的命理學家，對真因數和感興趣

外部連結

• Template:MathWorld