除數函數

Template:ExpandTemplate:Expand languageTemplate:NoteTA 在數論上，除數函數 ${\sigma }_x(n)$ 是一類算術函數，定義為 $n$ 的正因數的 $x$ 次冪之和，即 ${\sigma }_x(n)=\sum _{d|n}{d}^x$。

其中一些特殊情況：

• ${\sigma }_0(n)$ ：$n$ 的正因數的數目
• ${\sigma }_1(n)$ ：$n$ 的正因數之和（包括自己），若扣除$n$本身則稱為真因數和。

部分 ${\sigma }_x(n)$ 的值

$n$	$x$
	0	1	2
1	1	1	1
2	2	3	5
3	2	4	10
4	3	7	21
5	2	6	26
10	4	18	130
12	6	28	210
20	6	42	546
25	3	31	651

性質

• ${\sigma }_x(n)$ 都是積性函數，但不是完全積性。
• ${\sigma }_x(n)=\prod _{i=1}^r\frac{p_i^{(a_i+1)x}-1}{p_i^x-1}$，其与 ${\sigma }_x(n)=\prod _{i=1}^r\sum _{j=0}^{a_i}{p}_i^{jx}=\prod _{i=1}^r(1+p_i^x+p_i^{2x}+\cdots +p_i^{a_{i}x})$（$n$ 的各因數的 $x$ 次方後的和，其在 $x=1$ 時即為 $n$ 包括 $n$ 本身在內的各因數的和）相等。
• ${\sigma }_x(n)=\sum _{\mu =1}^n{\mu }^{x-1}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos \frac{2\pi \nu n}{\mu }.$
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_a(n)}{n^s}=\zeta (s)\zeta (s-a).$
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_a(n){\sigma }_b(n)}{n^s}=\frac{\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}.$

參考

• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9