相交理论
Template:Distinguish 相交理论（Intersection theory）是代数几何的主要分支之一，给出了给定代数簇的两个子簇的交点信息。Template:Sfn簇理论更老，源于曲线上的贝祖定理和消去理论；拓扑理论更快地达到了确定形式。
相交理论仍在不断发展。目前的主要重点是：虚基本循环、量子相交环、格罗莫夫-威滕量及将相交理论从概形推广到叠。Template:Sfn
拓扑相交形式
Template:See also 对维度为Template:Math的连通有向流形Template:Mvar，相交形式是通过对Template:Math中的基类Template:Math的上积求值，从而定义在第Template:Mvar上同调群（通常称作“中维”）。确切地说，有双线性形式
由下式给出
其中
Template:Mvar为偶数时这是对称双线性形式（因此Template:Math），这时Template:Mvar的符号数被定义为形式的符号数；Template:Mvar为奇数时，则定义为交替形式。这些形式可统称为ε对称形，当中Template:Math分别表示对称形和斜对称形。某些情况下，可以将形式细化为Template:Mvar二次型，但需要额外数据，如切丛的框架。也可以去除有向性条件，改用Template:Math系数。
这些形式是重要的拓扑不变量。例如，迈克尔·弗里德曼的一个定理指出，在同胚意义上，单连通紧4维流形（几乎）由其相交形式决定。
由庞加莱对偶性，我们可以从几何角度思考这个问题。试为Template:Mvar、Template:Mvar的庞加莱对偶择有代表性的Template:Mvar维子流形Template:Mvar、Template:Mvar，则Template:Math是Template:Mvar、Template:Mvar的有向交数（oriented intersection number），是良定义的，因为Template:Mvar、Template:Mvar维数之和等于Template:Mvar的维数，所以它们通常交于孤立的点。这就是“相交形式”这一术语的由来。
代数几何中的相交理论
威廉·富尔顿在《相交理论》（1984）中写道：
... 若Template:Mvar、Template:Mvar是非奇异簇Template:Mvar的子簇，那么交积Template:Math应是代数循环的等价类，代数循环与Template:Math、以及Template:Mvar、Template:Mvar在Template:Mvar中的几何位置密切相关。有两种情况最著名。若相交是真相交（proper），即Template:Math，则Template:Math是Template:Math的不可约成分的线性组合，系数是相交乘数。在另一个极端，若Template:Math是非奇异子簇，则自交公式表示Template:Math由Template:Mvar中Template:Mvar的法丛的顶陈类表示。
安德烈·韦伊《代数几何基础》（1946）中主要关注的是在一般情况下给出相交乘法的定义。1920年代，巴特尔·伦德特·范德瓦尔登的工作已经涉及这一问题；在意大利代数几何学派中，这观点已广为人知，但基础问题并未以同样的精神得到解决。
移动循环
要使循环Template:Mvar、Template:Mvar的相交机制运行良好，就不能只取循环的交集Template:Math。若两个循环处于“良位置”，则“交积”Template:Math就应包含两个子簇的交集。循环若处于“不良位置”，例如平面上的两条平行线，或包含直线的平面（在3维空间相交），相交都应该只有一个点，因为若要移动一个循环，这就是交点。两循环Template:Mvar、Template:Mvar的交集Template:Math的余维若等于Template:Mvar、Template:Mvar余维之和，就称相交为“真相交”（proper intersection）。 因此，我们使用循环上适当等价关系的“移动循环”概念。等价必须足够广，以至任给两个循环Template:Mvar、Template:Mvar都有等价循环Template:Math、Template:Math使相交Template:Math为真相交。当然，另一方面，对第二等价的Template:Math、Template:Math，Template:Math需要等价于Template:Math。
就相交理论而言，“有理等价”是最重要的一种。简言之，若在簇Template:Mvar的Template:Math维子簇Template:Mvar上有有理函数Template:Math，则Template:Mvar上的两Template:Mvar维循环有理等价；其中Template:Mvar是函数域Template:Math的元素或等价于函数Template:Math，使得Template:Math（其中Template:Math用乘法计算）。有理等价满足上述要求。
交乘
定义循环的交乘的指导原则是一定意义上的连续型。请看下面这个简单例子：抛物线Template:Math和轴Template:Math的交点应为Template:Math，因为若其中一个循环移动、接近所述位置时，两个交点恰好汇聚于Template:Math（图中只描绘了方程的实解，会引起误解）。
第一个令人满意的交乘定义由让-皮埃尔·塞尔给出：令周围簇（ambient variety）Template:Mvar光滑（或所有局部环都正则），接着令Template:Mvar、Template:Mvar都为（不可还原的闭）子簇，使其相交为真相交。这个构造是局部的，因此簇可用Template:Mvar的坐标环中的两个理想Template:Mvar、Template:Mvar表示。设Template:Mvar是交集Template:Math中的一个不可约成分，Template:Mvar为其一般点。则Template:Mvar在交积Template:Math中的乘法定义为
函子环的挠群（torsion group）Template:Mvar中的Template:Mvar的局部环长度上的交替和，对应子簇。这个表达式也称作“塞尔Tor公式”。 注释：
- 第一个和
- 的长度是对乘法的“天真”猜测；但正如塞尔指出的，这还不充分。
- 和是有限的，因为正则局部环具有有限的Tor维度。
- 若Template:Mvar、Template:Mvar的相交不是真相交，则上述交乘的结果将为0。若是真相交，则其严格为正。（这两点从定义看并不明显）
- 用谱序列可以证明Template:Math。
周环
Template:Main 周环是循环模有理等价所得的群，以及下面的交换交积：
其中V、 W 横截着相交，而是交集的不可约分解。
自交
给定两子簇Template:Mvar、Template:Mvar，可取其相交Template:Math，但也可以定义单个子簇的自交，方法要微妙些。
例如，给定面Template:Mvar上的曲线Template:Mvar，其与自身的相交就是自身：Template:Math。这虽然对，但不够好：任给曲面上两条不同的曲线（没有共同分量），它们相交于某个点集。可以数出点集包含的点数，得到“交数”。我们希望能对给定曲线左同样的处理：不同曲线的相交就像两个数相乘：Template:Math，自交就像乘方：Template:Math。形式上，这种类比就像是对称双线性形式（乘法）与二次型（乘方）。
其几何解法是，将曲线Template:Mvar与略微偏移的自身相交。在平面上这意味着将曲线Template:Mvar向某方向平移，但一般情况下我们谈论的是取与Template:Mvar线性等价的曲线Template:Math，计算交Template:Math的交点数，记作Template:Math。这不同于无关曲线Template:Mvar、Template:Mvar的情形，前者的实际交点取决于Template:Math的选择，但Template:Math的“自交点”可解释为Template:Mvar上的Template:Mvar个一般点，且Template:Math。更恰当地说，Template:Mvar的自交点是Template:Mvar的一般点，乘法为Template:Math。
或者，也可通过对偶话来代数地“解”这个问题，并查看Template:Math的类——这既给出了一个数，又提出了几何解释问题。传递到上同调类，类似于用线性系统代替曲线。
自交数可以为负，如下所示。
例子
考虑射影空间Template:Math中的直线Template:Mvar：其自交数为1，因为所有直线与之相交1次。可以将Template:Mvar推到Template:Math，对任意的Template:Math的选择都有Template:Math，于是Template:Math。就相交形式而言，我们说平面有Template:Math类型的相交形式（只有一类直线，且都互相相交）。
注意在仿射平面上，可以将Template:Mvar推移到平行线上，于是交点数取决于推离的选择。有人说“仿射平面没有很好的相交理论”，而非射影簇上的相交理论要困难得多。
Template:Math（也可解释为Template:Math中非奇异二次曲面Template:Mvar）上的直线自交为0，因为直线可以从自身移开（是直纹曲面）。就相交形式而言，可以说Template:Math有一个Template:Mvar类型——有2类基本直线，相交于1点（Template:Mvar），但自交为零（没有Template:Math或Template:Math项）。
拉开
自交数的一个重要例子是拉开的特殊曲线，是双有理几何中的一个核心运算。给定代数曲面Template:Mvar，在一点拉开，会产生一条曲线Template:Mvar，其属（genus）为0，自交数为-1（并不明显）。推论：Template:Math、Template:Math是最小曲面（不是拉开），因为它们没有任何具有负自交的曲线。事实上，卡斯泰尔诺沃收缩定理给出了相反的情况：每条Template:Math曲线都是某个拉开的特殊曲线。