生成矩阵

Template:For 在编码理论中，生成矩阵（Template:Lang-en）是一个矩阵，该矩阵的行是Template:Le的一组基。所有码字都是该矩阵的行的线性组合，也就是说，线性码是其生成矩阵的行空间。

术语

若 G 为一矩阵，它生成线性码 C 的Template:Le的方式为，

w = s G,

其中 w 是线性码 C 的一个码字，而 s 是任意向量。 线性 $[n,k,d{]}_q$ 码的生成矩阵的格式为 $k\times n$，其中 n 为码字的长度，k 为信息比特的数量（作为向量子空间的 C 的维数），d 为码的最小距离，而 q 为有限域的大小, 即字典中符号的个数（因此 q = 2 表示Template:Le，等等。）冗余比特的数量用 r = n - k 表示。

生成矩阵的标准形式为，

$G=\left[\begin{array}{c}{I}_k|P\end{array}\right]$,

其中 $I_k$ 是 k×k 單位矩陣而 P 是 k×r 矩阵。当生成矩阵为标准形式时，码 C 在其前 k 个坐标位置为Template:Le。

生成矩阵可以用来构建一个码的奇偶檢驗矩陣（反过来也可以）。如果生成矩阵 G 是标准形式 $G=\left[\begin{array}{c}{I}_k|P\end{array}\right]$，那么 C 奇偶校验矩阵就是

$H=\left[\begin{array}{c}-P^{\mathrm{\top }}|I_{n-k}\end{array}\right]$,

其中 $P^{\mathrm{\top }}$ 是 $P$ 矩阵的转置。这是由于 $C$ 的奇偶检验矩阵是对偶码 $C^{\perp }$ 的一个生成矩阵。

等价码

如果一个码可以由另一个码通过下列两种变换得到的话，则码 C₁ 与码 C₂ 是等价的（记为C₁ ~ C₂）：

1. 任意排列码的位置
2. 将固定位置上的做置换

等价码的最小距离相同。

参见

• Template:Le

参考文献

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延伸阅读

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外部链接

• Generator Matrix at MathWorld Template:Wayback